搜索
第2节不等式选讲【选题明细表】知识点、方法题号绝对值不等式的解法1,2已知不等式的解集求参数的取值范围2,4不等式的证明方法31.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.解:(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)上恒成立,因此a+b的最小值为5.2.(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.(*)当a≤1时,(*)等价于1-a+a≥3,无解.当a1时,(*)等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).3.(2018·西安市一模)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R.(1)解不等式f(x)|x|+1;(2)若对于x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求证:f(x)1.(1)解:不等式f(x)|x|+1,等价于|2x-1||x|+1.当x≤0,不等式可化为-2x+1-x+1,即x0,不成立;当0≤x≤,不等式可化为-2x+1x+1,即x0,所以0x≤;当x,不等式可化为2x-1x+1,即x2,所以x2;故不等式f(x)|x|+1的解集为(0,2).(2)证明:因为|x-y-1|≤,|2y+1|≤,所以f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|≤|2(x-y-1)|+|2y+1|≤2×+1.4.(2018·吉林白山市二模)已知函数f(x)=|x-m|-1.(1)若不等式f(x)≤2的解集为{x|-1≤x≤5},求实数m的值;(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥t-2对一切实数x恒成立,求实数t的取值范围.解:(1)由f(x)≤2得,|x-m|≤3,解得m-3≤x≤m+3.又已知不等式f(x)≤2的解集为{x|-1≤x≤5},所以解得m=2.(2)当m=2时,f(x)=|x-2|-1.由于f(x)+f(x+5)≥t-2对一切实数x恒成立,则|x-2|+|x+3|-2≥t-2对一切实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立.设g(x)=|x-2|+|x+3|,于是g(x)=|x-2|+|x+3|=所以当x-3时,g(x)5;当-3≤x≤2时,g(x)=5;当x2时,g(x)5.综上可得,g(x)的最小值为5,所以t≤5,即t的取值范围为(-∞,5].