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第三讲分式及其运算命题点分类集训命题点1分式有意义的条件【命题规律】考查方式：①确定分母中给出简单含未知数的代数式；②令分母中的代数式不等于0；③解不等式，确定出未知数的取值范围；④选择或填写出正确的答案．【命题预测】分式有意义的条件是简单题型的一种命题模式，考查形式为选择或填空题．1.如果分式2x－1有意义，那么x的取值范围是________．1.x≠1【解析】要分式有意义，则分式的分母不能为0，即x－1≠0，即x≠1.2.若代数式x－1x有意义，则x的取值范围是________．2.x≥1【解析】要原式有意义，则x－1≥0x≠0，∴x≥1.命题点2分式值为0的条件【命题规律】考查题型及形式：选择题和填空题中一般考查两项分式化简；考查方式：经常题目中暗含分式有意义的条件，需要同时满足才能确定出未知数的取值范围．【命题预测】分式值为0仍是重要考查知识点，在选择题或填空题中考查将成为常态化．3.已知分式（x－1）（x＋2）x2－1的值为0，那么x的值是()A.－1B.－2C.1D.1或－23.B【解析】分式（x－1）（x＋2）x2－1的值为0，须满足：（x－1）（x＋2）＝0x2－1≠0，解得x＝－2.4.当x＝________时，分式x－22x＋5的值为0.4.2【解析】根据题意得x－2＝02x＋5≠0，解得x＝2.命题点3分式的化简【命题规律】考查题型及形式：①选择题和填空题中一般考查两项分式化简；②解答题中一般考查三项分式运算，涉及乘除和加减运算，有时会含括号；③考查运算顺序：通分、因式分解、约分、化简等知识．【命题预测】分式的化简仍是重要考查知识点，其中选择题或填空题考查居多．5.下列分式中，最简分式是()A.x2－1x2＋1B.x＋1x2－1C.x2－2xy＋y2x2－xyD.x2－362x＋125.A【解析】A.x2－1x2＋1分子分母中无公因式，是最简分式；B.x＋1x2－1＝x＋1（x＋1）（x－1）＝1x－1，故不是最简分式；C.x2－2xy＋y2x2－xy＝（x－y）2x（x－y）＝x－yx，故不是最简分式；D.x2－362x＋12＝（x＋6）（x－6）2（x＋6）＝x－62，故不是最简分式．6.计算：5c26ab·3ba2c＝________．6.5c2a37.化简：x＋3x2－4x＋4÷x2＋3x（x－2）2＝________．7.1x8.计算aa－1－3a－1a2－1.8.解：原式＝aa－1－3a－1（a－1）（a＋1）＝a（a＋1）－（3a－1）（a－1）（a＋1）＝a2＋a－3a＋1（a－1）（a＋1）＝（a－1）2（a－1）（a＋1）＝a－1a＋1.9.化简：a－b－（a＋b）2a＋b.9.解：原式＝a－b－(a＋b)＝a－b－a－b＝－2b.10.(mm－2－2mm2－4)÷mm＋2.10.解：原式＝[m2＋2m（m－2）（m＋2）－2m（m－2）（m＋2）]÷mm＋2＝m2（m－2）（m＋2）·m＋2m＝mm－2.11.化简：(x－5＋16x＋3)÷x－1x2－9.11.解：原式＝（x－5）（x＋3）＋16x＋3÷x－1x2－9＝x2－2x＋1x＋3·x2－9x－1(2分)＝（x－1）2x＋3·（x＋3）（x－3）x－1＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.命题点4分式化简求值【命题规律】1.考查形式：多以解答题形式设题，都是先化简分式，再求值，一般为三项分式运算，考查分式加减乘除及括号等运算；2.题中所给字母为1个或2个，1个居多．字母取值形式：①直接给出数值；②自选一个数字；③在给定的数字中选取合适的数；④对给定的方程求解，再进行取舍代值；⑤在整数范围内任选数字等．【命题预测】分式化简求值是一种命题的主要趋势，代值形式设题会比较灵活，考查题型为解答题．12.先化简，再求值：2x2－2xx2－1－xx＋1，其中x＝－2.12.解：原式＝2x（x－1）（x－1）（x＋1）－xx＋1＝2xx＋1－xx＋1＝xx＋1.当x＝－2时，原式＝xx＋1＝－2－2＋1＝2.13.先化简，再求值：(1＋1x－1)÷x2，其中x＝2016.13.解：原式＝xx－1÷x2＝xx－1·2x＝2x－1.当x＝2016时，原式＝2x－1＝22016－1＝22015.14.先化简，再求值：aa－b(1b－1a)＋a－1b，其中a＝2，b＝13.14.解：原式＝aa－b·a－bba＋a－1b＝1b＋a－1b＝ab.故当a＝2，b＝13时，原式＝ab＝2×3＝6.15.先化简，再求值：a＋3a·6a2＋6a＋9＋2a－6a2－9，其中a＝3－1.15.解：原式＝a＋3a·6（a＋3）2＋2（a－3）（a＋3）（a－3）＝6a（a＋3）＋2（a＋3）＝6＋2aa（a＋3）＝2a.当a＝3－1时，原式＝23－1＝3＋1.16.先化简，再求值：x2＋xx2－2x＋1÷(2x－1－1x)，然后再从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．16.解：原式＝x（x＋1）（x－1）2÷[2xx（x－1）－x－1x（x－1）]＝x（x＋1）（x－1）2÷x＋1x（x－1）＝x（x＋1）（x－1）2·x（x－1）x＋1＝x2x－1.当x＝－1，0，1时，原分式均无意义．∴在－2＜x≤2范围内选取整数2求值．此时原式＝222－1＝4.17.先化简，再求值：(1－2x－1)·x2－xx2－6x＋9，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数．17.解：原式＝x－1－2x－1·x（x－1）（x－3）2＝x－3x－1·x（x－1）（x－3）2＝xx－3.∵x－1≠0，x－3≠0,∴x≠1且x≠3，∴取x＝2，∴原式＝22－3＝－2.18.先化简，再求代数式(2a＋1－2a－3a2－1)÷1a＋1的值，其中a＝2sin60°＋tan45°.18.解：原式＝2（a－1）－（2a－3）（a＋1）（a－1）·(a＋1)＝1（a＋1）（a－1）·(a＋1)＝1a－1.∵a＝2sin60°＋tan45°＝2×32＋1＝3＋1，∴原式＝13＋1－1＝33.19.先化简，再求值：(xx－3－1x－3)÷x2－1x2－6x＋9，其中x满足2x＋4＝0.19.解：原式＝x－1x－3·（x－3）2（x＋1）（x－1）＝x－3x＋1，∵2x＋4＝0，∴x＝－2，∴原式＝－2－3－2＋1＝5.中考冲刺集训一、选择题1.计算x＋1x－1x的结果为()A.1B.xC.1xD.x＋2x2.下列运算结果为x－1的是()A.1－1xB.x2－1x·xx＋1C.x＋1x÷1x－1D.x2＋2x＋1x＋13.化简a2－b2ab－ab－b2ab－a2等于()A.baB.abC.－baD.－ab二、填空题4.计算：xy2xy＝________．5.若a＝2b≠0，则a2－b2a2－ab的值为________．6.计算1－4a22a＋1的结果是________．7.化简：(a2a－3＋93－a)÷a＋3a＝________．三、解答题8.化简：m2－93m2－6m÷(1－1m－2)．9.化简：x2＋4x＋4x2＋2x÷(2x－4＋x2x)．10.先化简，再求值：a－4a÷(a＋2a2－2a－a－1a2－4a＋4)，其中a＝2.11.先化简，再求值：a2＋aa2－2a＋1÷(2a－1－1a)，其中a是方程2x2＋x－3＝0的解．12.先化简(a2＋4aa－2－42－a)·a－2a2－4，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．13.先化简，再求值：x3－4xx2＋4x＋4÷(1－2x)，其中x＝2sin60°－1.14.先化简，再求值：(a＋1a2－a－a－1a2－2a＋1)÷a－1a，其中a＝3＋1.15.先化简，再求值：(1－2x)÷x2－4x＋4x2－4－x＋4x＋2，其中x2＋2x－15＝0.16.先化简，再求值：(1x－y＋2x2－xy)÷x＋22x，其中实数x，y满足y＝x－2－4－2x＋1.17.化简：2xx＋1－2x＋4x2－1÷x＋2x2－2x＋1，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．答案与解析：1.A【解析】x＋1x－1x＝x＋1－1x＝xx＝1.2.B【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A1－1x＝x－1x≠x－1×Bx2－1x·xx＋1＝（x＋1）（x－1）x·xx＋1＝x－1√Cx＋1x÷1x－1＝x＋1x·(x－1)＝x2－1x≠x－1×Dx2＋2x＋1x＋1＝（x＋1）2x＋1＝x＋1≠x－1×3.B【解析】原式＝（a＋b）（a－b）ab－b（a－b）a（b－a）＝（a＋b）（a－b）ab＋ba＝（a＋b）（a－b）＋b2ab＝a2－b2＋b2ab＝a2ab＝ab，故答案为B.4.y【解析】先找出分式的分子、分母的公因式是xy，所以约分直接得到答案为y.5.32【解析】原式＝（a＋b）（a－b）a（a－b）＝a＋ba，∵a＝2b≠0，∴原式＝2b＋b2b＝32.6.1－2a【解析】原式＝（1－2a）（1＋2a）2a＋1＝1－2a.7.a【解析】原式＝(a2a－3－9a－3)÷a＋3a＝a2－9a－3÷a＋3a＝(a＋3)·aa＋3＝a.8.解：原式＝（m－3）（m＋3）3m（m－2）÷(m－2m－2－1m－2)＝（m－3）（m＋3）3m（m－2）·m－2m－3＝m＋33m.9.解：原式＝（x＋2）2x（x＋2）÷2x2－4－x2x＝（x＋2）2x（x＋2）·x（x＋2）（x－2）＝1x－2.10.解：原式＝a－4a÷[a＋2a（a－2）－a－1（a－2）2]＝a－4a÷[（a＋2）（a－2）a（a－2）2－a（a－1）a（a－2）2]＝a－4a÷a2－4－a2＋aa（a－2）2＝a－4a·a（a－2）2a－4＝a2－4a＋4.当a＝2时，原式＝(2)2－4×2＋4＝6－42.11.解：原式＝a（a＋1）（a－1）2÷2a－（a－1）a（a－1）＝a（a＋1）（a－1）2·a（a－1）a＋1＝a2a－1.由2x2＋x－3＝0，得x1＝1，x2＝－32，又∵a－1≠0，∴a＝－32.∴原式＝（－32）2－32－1＝－910.12.解：原式＝a2＋4a＋4a－2·a－2a2－4＝（a＋2）2a－2·a－2（a＋2）（a－2）＝a＋2a－2.由题意，a≠2，当a取1时，原式＝a＋2a－2＝1＋21－2＝－3；当a取3时，原式＝3＋23－2＝5.(任意一值代入均可得分)13.解：原式＝x（x2－4）（x＋2）2÷x－2x＝x（x＋2）（x－2）（x＋2）2·xx－2＝x2x＋2.∵x＝2sin60°－1＝2×32－1＝3－1，∴原式＝（3－1）23－1＋2＝4－233＋1＝（4－23）（3－1）（3＋1）（3－1）＝63－102＝33－5.14.解：原式＝[a＋1a（a－1）－a－1（a－1）2]·aa－1＝[a＋1a（a－1）－1a－1]·aa－1＝1a（a－1）·aa－1＝1（a－1）2.将a＝3＋1代入可得，原式＝1（3＋1－1）2＝13.15.解：原式＝x－2x÷（x－2）2（x＋2）（x－2）－x＋4x＋2＝x－2x·（x＋2）（x－2）（x－2）2－x＋4x＋2＝x＋2x－x＋4x＋2＝（x＋2）2－x（x＋4）x（x＋2）＝4x2＋2x.∵x2＋2x－15＝0，∴x2＋2x＝15.(通过解方程得x值为－5，3也正确)∴原式＝415.16.解：原式＝[xx（x－y）＋2x（x－y）]·2xx＋2＝x＋2x（x－y）·2xx＋2＝2x－y，而x，y满足条件y＝x－2－4－2x＋1，∴被开方数x－2与4－2x都是非负数，∴x＝2，y＝1.把x＝2、y＝1分别代入化简后的式子，得2x－y＝2.17.解：原式＝2xx＋1－2（x＋2）（x＋1）（x－1）·（x－1）2x＋2＝2xx＋1－2x－2x＋1＝2x－2x＋2x＋1＝2x＋1.∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2，且当x＝1时原分式无意义，∴x可取0或2，当x＝0时，原式＝2，当x＝2时，原式＝23.(任选一值代入均可得分)精诚