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第一部分教材梳理第6节多边形与平行四边形第四章图形的认识（一）知识梳理概念定理1.多边形的有关概念（1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（2）n边形：如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.（3）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.（4）多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（5）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.（6）多边形（n边形）的内角和：（n-2）·180°.（7）多边形（n边形）的外角和：360°.2.平行四边形的概念（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法.（2）表示方法：用符号“□”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.3.平行四边形的性质（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等.（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等.（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分.（4）对称性：中心对称图形.（5）面积：①计算公式：S□=底×高=ah.②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.4.平行四边形的判定（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.5.三角形中位线定理（1）三角形的中位线：连接三角形两边的中点，所得线段叫做该三角形的中位线.（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.中考考点精讲精练考点1多边形的内角和与外角和考点精讲【例1】（2016临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A.108°B.90°C.72°D.60°思路点拨：首先设此多边形为n边形，根据题意，得180·（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案.答案：C考题再现1.（2014广东）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A.10B.9C.8D.72.（2015广东）正五边形的外角和等于________.3.（2016桂林）正六边形的每个外角是________度.4.（2014梅州）内角和与外角和相等的多边形的边数为________.D360°60四考点演练5.一个多边形除一个内角外，其余内角的和为1510°，则这个多边形的边数是（）A.九B.十C.十一D.十二6.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（）A.五B.六C.七D.八7.一个多边形的每个内角均为120°,则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形8.一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为________.CBC六考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题或填空题，难度较低.解答本考点的有关题目，关键在于掌握多边形的内角和公式与外角和定理.注意以下要点：（1）多边形（n边形）的内角和等于（n-2）·180°；（2）多边形（n边形）的外角和等于360°.考点2平行四边形的性质考点精讲【例2】（2016深圳）如图1-4-6-1，在□ABCD中，AB=3，BC=5，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为________.思路分析：根据作图过程可得BE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可得∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长.解：根据作图的方法，得BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5.∴∠AEB=∠CBE.∴∠ABE=∠AEB.∴AE=AB=3.∴DE=AD-AE=5-3=2.答案：2考题再现1.（2014广东）如图1-4-6-2，□ABCD中，下列说法一定正确的是（）A.AC=BDB.AC⊥BDC.AB=CDD.AB=BC2.（2016河池）如图1-4-6-3，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A.150°B.130°C.120°D.100°CC3.（2016丹东）如图1-4-6-4，在□ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A.8B.10C.12D.144.（2015梅州）如图1-4-6-5，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于________.B205.（2016梅州）如图1-4-6-6，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于点O.（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG=1时，求AE的长.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴∠OBE=∠ODF.在△OBE与△ODF中，∴△OBE≌△ODF（AAS）.∴BO=DO.（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA=∠GFD=90°.∵∠A=45°，∴∠G=∠A=45°.∴AE=GE.∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠GDO=90°.∴∠GOD=∠G=45°.∴DG=DO.∴OF=FG=1.由（1）可知，OE=OF=1，∴GE=OE+OF+FG=3.∴AE=GE=3.考点演练6.如图1-4-6-7，□ABCD的对角线AC,BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①∠CAD=30°；②S□ABCD=AB·AC；③OB=AB；④OE=BC,成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个C7.如图1-4-6-8，在□ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是________.248.如图1-4-6-9，在□ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.求证：OE=OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC.∴∠EAO=∠FCO.∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO（AAS）.∴OE=OF.考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型不固定，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握平行四边形的性质定理（相关要点详见“知识梳理”部分）.在有关平行四边形性质的题目中，常涉及全等三角形的证明，这样的出题方式，备考时需多加留意.考点3平行四边形的判定考点精讲【例3】（2014深圳）如图1-4-6-10，已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，求证：四边形ABDF是平行四边形.思路点拨：先证得△ADB≌△CDB,求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可得证.证明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC.在△ADB与△CDB中，∴△ADB≌△CDB（SSS）.∴∠BCD=∠BAD.∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF，∴AB∥FD.∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD.∴四边形ABDF是平行四边形.考题再现1.（2015广州）下列命题中，真命题的个数有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形;②两组对角分别相等的四边形是平行四边形;③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.A.3个B.2个C.1个D.0个2.（2016湘西州）下列说法错误的是（）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形BD3.（2015遂宁）如图1-4-6-11，□ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△DCF（SAS）.∴AE=CF.（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB=∠CFD.∴∠AEF=∠CFE.∴AE∥CF.又∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形.考点演练4.下列结论一定成立的是（）A.如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C.如果四边形ABCD的对角线AC平分BD，那么四边形ABCD是平行四边形D.三条边相等的四边形是平行四边形A5.如图1-4-6-12，已知四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，下面选项不能得出四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB∥CD，AB=CDB.AB=CD，AD=BCC.AO=CO，BO=DOD.AB∥CD，AD=BCD6.如图1-4-6-13，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，△ACD是等边三角形，E是AC的中点，连接BE并延长，交DC于点F，求证：（1）△ABE≌△CFE；（2）四边形ABFD是平行四边形.证明：（1）∵△ACD是等边三角形，∴∠DCA=60°.∵∠BAC=60°，∴∠DCA=∠BAC.在△ABE与△CFE中，∴△ABE≌△CFE（ASA）.（2）∵E是AC的中点，∴BE=EA.∵∠BAE=60°，∴△ABE是等边三角形.∴△CEF是等边三角形.∴∠CFE=60°.∵△ACD是等边三角形，∴∠CDA=∠DCA=60°.∴∠CFE=∠CDA.∴BF∥AD.∵∠DCA=∠BAC=60°，∴AB∥DC.∴四边形ABFD是平行四边形.考点点拨：本考点的题型不固定，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握平行四边形的判定定理，从而对有关平行四边形的结论进行判断或证明.熟记以下五种平行四边形的判定方法：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）方法3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）方法5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.考点4三角形中位线定理考点精讲【例4】（2014广东）如图1-4-6-14，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=________.思路点拨：由D，E分别是AB，AC的中点可知DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理即可求出DE的长.解：∵D，E是AB，AC中点，∴DE为△ABC的中位线.答案：3考题再现1.（2016广州）如图1-4-6-15，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD=（）A.3B.4C.4.8D.52.（2016河南）如图1-4-6-16，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A.6B.5C.4D.3DD考点演练3.如图1-4-6-17，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，E是AB边的中点,则DE的长是（）A.6B.5C.4D.34.如图1-4-6-18，在□ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（）A.2B.3C.4D.5BC考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题或填空题，但本考点也常在三角形或四边形的综合解答题中考查到，难度较低.解答本考点的题目，关键在于熟练掌握三角形中位线定理的内容并加以灵活运用