搜索
第一部分教材梳理第7节特殊的平行四边形第四章图形的认识（一）知识梳理概念定理1.特殊平行四边形的定义（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形.它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形.2.特殊平行四边形的性质（1）矩形的性质①边：对边平行且相等.②角：四个角都相等（都等于90°）、邻角互补.③对角线：对角线互相平分且相等.④对称性：轴对称图形（对称轴为对边中点连线所在直线，有2条）；中心对称图形.（2）菱形的性质①边：四条边都相等.②角：对角相等、邻角互补.③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角.④对称性：轴对称图形（对称轴为对角线所在直线，有2条）；中心对称图形.（3）正方形的性质①边：四条边都相等.②角：四个角都相等（都等于90°）.③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45°.④对称性：轴对称图形（对称轴有4条）；中心对称图形.3.特殊平行四边形的判定方法（1）矩形的判定（满足下列条件之一的四边形是矩形）①有一个角是直角的平行四边形.②对角线相等的平行四边形.③四个角都相等的四边形.（2）菱形的判定（满足下列条件之一的四边形是菱形）①有一组邻边相等的平行四边形.②对角线互相垂直的平行四边形.③四条边都相等的四边形.（3）正方形的判定（满足下列条件之一的四边形是正方形）①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形.②有一组邻边相等的矩形.③对角线互相垂直的矩形.④有一个角是直角的菱形.⑤对角线相等的菱形.主要公式特殊平行四边形的面积公式（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab.（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=ab.（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=a2；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=a2.方法规律特殊平行四边形的说明方法（1）矩形的说明方法（三种）①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等.③说明四边形ABCD的三个角是直角.（2）菱形的说明方法（三种）①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线互相垂直.③说明四边形ABCD的四条边相等.（3）正方形的说明方法（四种）①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等.②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线互相垂直且相等.③先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形ABCD的一组邻边相等（或对角线互相垂直）.④先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角（或对角线相等）.中考考点精讲精练考点1矩形的性质和判定考点精讲【例1】（2016广州）如图1-4-7-1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数.思路点拨：首先说明OA=OB，再得出△ABO是等边三角形即可解决问题.解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD.∴AO=BO.∵AB=AO，∴AB=AO=BO.∴△ABO是等边三角形.∴∠ABD=60°.考题再现1.（2016兰州）如图1-4-7-2，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=，DE=2，则四边形OCED的面积（）A2.（2016广东）如图1-4-7-3，矩形ABCD中，对角线AC=,E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=________.3.（2016茂名）如图1-4-7-4，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=________.24.（2015梅州）如图1-4-7-5，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为________.考点演练5.在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A.AB=CD，AD=BC，AC=BDB.AO=CO，BO=DO，∠A=90°C.∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BDD.∠A=∠B=90°，AC=BDC6.如图1-4-7-6，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）B7.如图1-4-7-7，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形.证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C.∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB.∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB.∴∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）.（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC.∴DE∥BF，DE=BF.∴四边形DFBE是平行四边形.又∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°.∴平行四边形DFBE是矩形.考点点拨：本考点是广东中考的次高频考点，题型一般为填空题或解答题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握矩形的性质和判定定理并加以灵活运用（相关要点详见“知识梳理”部分）.考点2菱形的性质和判定考点精讲【例2】（2016梅州）如图1-4-7-8，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF.（1）四边形ABEF是________；（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为________，∠ABC=________.思路点拨：（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可知四边形ABEF为菱形.（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°角的直角三角形，由此即可解决问题.答案：（1）菱形（2）考题再现1.（2015广东）如图1-4-7-9，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是________.2.（2014珠海）边长为3cm的菱形的周长是（）A.6cmB.9cmC.12cmD.15cm6C3.（2016聊城）如图1-4-7-10，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形.证明：∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE.在△AFE和△CDE中，∴△AEF≌△CED.∴AF=CD.∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形.∵∠B=90°，AC=2AB,∴∠ACB=30°.∴∠CAB=60°.∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD.∴DA=DC.∴四边形ADCF是菱形.考点演练4.如图1-4-7-11，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF.若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为（）A5.如图1-4-7-12，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM;②△EOB≌△CMB;③四边形EBFD是菱形,其中正确结论的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.0个B6.如图1-4-7-13，已知△ABC中，∠ACB=90°，EC是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称.（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）求证：BC=ED.证明：（1）∵∠ACB=90°，EC是中线，∴EA=EC.∵△ACD与△ACE关于直线AC对称,∴△ACD≌△ACE.∴EA=EC=DA=DC.∴四边形ADCE是菱形.（2）∵四边形ADCE是菱形，∴CD∥AE且CD=AE.∵AE=EB，∴CD∥EB且CD=EB.∴四边形BCDE为平行四边形.∴BC=ED.考点点拨：本考点是广东中考的次高频考点，题型不固定，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握菱形的性质和判定定理并加以灵活运用（相关要点详见“知识梳理”部分）.考点3正方形的性质和判定考点精讲【例3】（2016广东）如图1-4-7-14，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为（）思路点拨：由正方形的性质和已知条件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长.答案：B考题再现1.（2015深圳）如图1-4-7-15，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=.在以上4个结论中，正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个C2.（2016广州）如图1-4-7-16，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG=112.5°;④BC+FG=1.5.其中正确的结论有________（填序号）.①②③3.（2014梅州）如图1-4-7-17，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴在△CBE和△CDF中，∴△CBE≌△CDF（SAS）.∴CE=CF.（2）解：GE=BE+GD成立.理由如下:∵由（1）得△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°.又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.在△ECG和△FCG中，∴△ECG≌△FCG（SAS）.∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.考点演练4.已知四边形ABCD，则下列说法正确的是（）A.若AB∥CD，AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形B.若AC⊥BD，AC=BD，则四边形ABCD是矩形C.若AC⊥BD，AB=AD，CB=CD,则四边形ABCD是菱形D.若AB=BC=CD=AD，则四边形ABCD是正方形A5.如图1-4-7-18所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF,CG.（1）求证：AF=BF；（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形.证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC，即DE是线段AC的垂直平分线.∴AF=CF.∴∠FAC=∠ACF.在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°.∴∠BAF=∠B.∴AF=BF.（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE.又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE.在△AEG和△CEF中，∴△AEG≌△CEF（AAS）.∴