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第一部分教材梳理第5节直角三角形与勾股定理第四章图形的认识（一）知识梳理概念定理1.直角三角形（1）定义：有一个角为90°的三角形叫做直角三角形.（2）性质①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;③直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边的一半.（3）判定①定义法：有一个角是90°的三角形是直角三角形.②有一条边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形.2.勾股定理及其逆定理（1）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.（2）勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.主要公式勾股定理公式：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.方法规律勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.（3）用于证明平方关系的问题.中考考点精讲精练考点直角三角形的性质和判定、勾股定理及其逆定理考点精讲【例】（2016广东）如图1-4-5-1，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于点D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°.若AC=a，求CI的长.思路点拨：在Rt△ACD中，利用30°角的性质和勾股定理求出CD的长；同理在Rt△ECD中求出FC的长，在Rt△FCG中求出CH的长；最后在Rt△HCI中，利用30°角的性质和勾股定理求出CI的长.解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠A=90°-30°=60°.∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°.∴∠ACD=30°.考题再现1.（2016百色）如图1-4-5-2，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）2.（2016泉州）如图1-4-5-3，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=________.A53.（2016黔南州）如图1-4-5-4，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为________.64.（2016台湾）如图1-4-5-5，在△ABC中，AB=AC，D点在BC上，∠BAD=30°，且∠ADC=60°.求证：（1）BD=AD；（2）CD=2BD.证明：（1）∵∠ADC=60°，∠BAD=30°，∴∠ABD=∠ADC-∠BAD=60°-30°=30°=∠BAD.∴BD=AD.（2）∵∠ABD=30°，又∵AB=AC，∴∠C=∠ABD=30°.∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-60°-30°=90°.∵∠C=30°，∴CD=2AD=2BD.考点演练5.如图1-4-5-6，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，且AB=5，AC=4，BC=3，则CD等于（）6.如图1-4-5-7，在直角三角形ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=72°，AD是∠CAB的角平分线，交边BC于点D，过点C作△ACD的边AD上的高线CE，则∠ECD的度数为（）A.63°B.45°C.27°D.18°AC7.如图1-4-5-8，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，则∠ADE的度数是________.8.如图1-4-5-9，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，连接MD.若BD=2，CD=1,则MD的长为__________.60°9.如图1-4-5-10，∠C=30°，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，PA=2，PB=11，求OP的长.解：∵PA⊥OA，∠C=30°,∴PC=2PA=4.∴BC=BP+PC=11+4=15.∵PB⊥OB，∠C=30°，考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为填空题和解答题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于掌握直角三角形的性质和判定定理、勾股定理及其逆定理（相关要点详见“知识梳理”部分）.直角三角形是特殊的三角形，不仅单个考点的考查是中考热点，直角三角形与其他几何图形相结合的综合题型也是中考的热点，熟练掌握直角三角形的性质、勾股定理等要点并加以灵活运用对解题非常关键，备考时需多加留意.课堂巩固训练1.将一副直角三角板按如图1-4-5-11放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A.140°B.160°C.170°D.150°2.如图1-4-5-12，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，点E是垂足，连接CD.若BD=1，则AC的长是（）A.2B.2C.4D.4BA3.如图1-4-5-13，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A.3B.4C.5D.64.如图1-4-5-14，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）CD5.如图1-4-5-15，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于________.6.如图1-4-5-16所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1.过点C作CC1⊥AB于点C1，过点C1作C1C2⊥AC于点C2，过点C2作C2C3⊥AB于点C3，…，按此作法进行下去，则ACn=____________.87.如图1-4-5-17，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=8，求BC，BD的长度.解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，∴BC=AB=×8=4.∵CD是△ABC的高，∴∠CDA=∠ACB=90°.∴∠BCD=∠A=30°.∴在Rt△BCD中，BD=BC=×4=2.8.如图1-4-5-18，在△ABC中，点E为AC的中点，其中BD=1，DC=3，BC=，AD=，求DE的长.解：∵BD=1，DC=3，∴BD2+CD2=BC2.∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.又∵点E为AC的中点，