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第26课时圆的有关性质考点一圆的有关概念及性质考点聚焦1.圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做①,线段OA叫做②.2.圆的对称性:圆既是③对称图形,又是④对称图形,圆还具有旋转不变性.3.确定圆的条件:不在⑤点确定一个圆.半径圆心轴中心同一条直线上的三个4.圆的有关概念概念弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.大于半圆的弧叫⑥,小于半圆的弧叫⑦弦连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做⑧圆心角顶点在圆心的角圆周角顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角优弧劣弧直径考点二圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的⑨相等,所对的⑩也相等示例推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等弧弦如图,∠AOB=∠COD⇔𝐴𝐵=𝐶𝐷⇔AB=CD考点三垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径⑪,并且平分弦所对的两条弧示例推论(1)平分弦(不是直径)的直径⑫于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的⑬经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧垂直垂直平分线如图,CD⊥AB,AM=BM,𝐴𝐶=𝐵𝐶,𝐴𝐷=𝐵𝐷平分弦(续表)总结简言之,对于①过圆心、②垂直弦、③平分弦(不是直径)、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立,那么其他的结论也成立考点四圆周角定理及推论圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑭常见图形推论1同弧或等弧所对的圆周角⑮推论2半圆(或直径)所对的圆周角是⑯,90°的圆周角所对的弦是⑰一半相等直径直角考点五圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角⑱.[拓展]圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,如图26-1,∠ABE=∠D.图26-1互补题组一教材题对点演练1.[九上P89习题24.1第8题改编]如图26-2是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是☉O中弦CD的中点,EM经过圆心O交圆弧于点E,并且CD=4m,EM=6m,则☉O的半径为m.图26-2[答案]103[解析]M是☉O中弦CD的中点,根据垂径定理的推论,得EM⊥CD.又CD=4m,∴CM=12CD=2m.设圆的半径为xm,连接OC,在Rt△COM中,由勾股定理,得OC2=CM2+OM2,即x2=22+(6-x)2,解得x=103.2.[九上P90习题24.1第10题改编]☉O的半径为13cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB和CD之间的距离为.[答案]7cm或17cm[解析]过点O作OE⊥AB于点E,直线OE交CD于点F,连接OA,OC,如图.∵AB∥CD,∴OF⊥CD,∴AE=BE=12AB=12,CF=DF=12CD=5,在Rt△OAE中,∵OA=13,AE=12,∴OE=5,在Rt△OCF中,∵OC=13,CF=5,∴OF=12.当圆心O在弦AB与CD之间时,如图①,EF=OF+OE=12+5=17;当圆心O不在弦AB与CD之间时,如图②,EF=OF-OE=12-5=7.综上所述,AB和CD之间的距离为7cm或17cm.图26-33.[九上P90习题24.1第13题]如图26-3,A,B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是𝐴𝐵的中点.求证:四边形OACB是菱形.证明:连接OC,∵C为𝐴𝐵的中点,∴𝐴𝐶=𝐵𝐶,∴∠AOC=∠BOC.∵∠AOC+∠BOC=120°,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OB=OC,∴△OAC和△OCB都是等边三角形,∴OA=AC=CB=BO,∴四边形OACB是菱形.【失分点】(1)对弦、弧、直径、半圆等概念理解不清;(2)在角度计算或求弦长时,如果图形不确定,需要分类讨论.题组二易错题4.下列说法中,错误的是()A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧5.过圆O外一点P作圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,C为圆周上除切点A,B外的任意点,若∠APB=70°,则∠ACB的度数为.55°或125°B考向一垂径定理及其推论图26-4例1如图26-4,(1)在半径为5cm的☉O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=;(2)在半径为5cm的☉O中,OC⊥AB于点C,OC=4cm,则弦AB=;(3)在☉O中,OC⊥AB于点C,OC=4cm,弦AB=8cm,则☉O的半径为;(4)在☉O中,OC⊥AB于点C,延长OC交劣弧𝐴𝐵于D,CD=1cm,弦AB=8cm,则☉O的半径为.4𝟐cm4cm6cm𝟏𝟕𝟐cm【方法点析】(1)垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一;(2)在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段,构造直角三角形求解.|考向精练|1.[2019·衢州]一块圆形宣传标志牌如图26-5所示,点A,B,C在☉O上,CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm,DC=2dm,则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm图26-5[答案]B[解析]连接OD,OB,∵CD垂直平分AB,∴D是AB中点,根据垂径定理可知O,D,C三点在同一条直线上,设☉O的半径为r.∵CD垂直平分AB,AB=8dm,∴BD=4dm,OD=(r-2)dm,由勾股定理得42+(r-2)2=r2,r=5dm,故选B.图26-62.[2019·黄冈]如图26-6,一条公路的转弯处是一段圆弧(𝐴𝐵),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40m,点C是𝐴𝐵的中点,点D是AB的中点,且CD=10m.则这段弯路所在圆的半径为()A.25mB.24mC.30mD.60m[答案]A[解析]连接OD,由垂径定理可知O,D,C在同一条直线上,OC⊥AB.设半径为r,则OC=OA=r,∵AD=12AB=20,∴OD=OC-CD=r-10.在Rt△ADO中,由勾股定理知:r2=202+(r-10)2,解得r=25.例2[2019·吉林]如图26-7,在☉O中,𝐴𝐵所对的圆周角∠ACB=50°,若P为𝐴𝐵上一点,∠AOP=55°,则∠POB的度数为()A.30°B.45°C.55°D.60°考向二圆周角定理及推论图26-7B【方法点析】(1)圆周角定理为圆周角与圆心角的角度转换提供了根据;(2)在圆上,如果有直径,则直径所对的圆周角是直角,常利用此结论构造直角三角形解题.|考向精练|1.[2019·娄底]如图26-8,C,D两点在以AB为直径的圆上,AB=2,∠ACD=30°,则AD=.[答案]1[解析]如图,连接AD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵在☉O中,∠ACD=30°,∴∠B=∠ACD=30°,∴AD=12AB=12×2=1.图26-82.[2019·安徽]如图26-9,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D,若☉O的半径为2,则CD的长为.[解析]连接CO并延长交☉O于E,连接BE,则∠E=∠A=30°,∠EBC=90°.∵☉O的半径为2,∴CE=4,∴BC=12CE=2.∵CD⊥AB,∠CBA=45°,∴CD=22BC=2,故答案为2.图26-9[答案]2例3[2019·天水]如图26-10,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为()A.20°B.25°C.30°D.35°考向三圆内接四边形的性质图26-10[答案]C[解析]∵四边形ABCD是菱形,∠D=80°,∴∠ACB=12∠DCB=12(180°-∠D)=50°.∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=80°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°,故选C.[答案]6|考向精练|[2018·无锡改编]如图26-11,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cosB=35,则AD的长为.图26-11[解析]如图所示,延长AD,BC交于点E,∵四边形ABCD内接于☉O,∠A=90°,∴∠EDC=∠B,∠ECD=∠A=90°,∴△ECD∽△EAB,∴𝐶𝐷𝐴𝐵=𝐸𝐶𝐸𝐴.∵cos∠EDC=cosB=35,∴𝐶𝐷𝐸𝐷=35,∵CD=10,∴10𝐸𝐷=35,∴ED=503,∴EC=𝐸𝐷2-𝐶𝐷2=(503)2-102=403.∴1017=403503+𝐴𝐷,∴AD=6.例4如图26-12,A,P,B,C是圆上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延长线相交于点D.(1)求证:△ABC是等边三角形;(2)若∠PAC=90°,AB=23,求PD的长.考向四圆的有关性质的综合运用图26-12解:(1)证明:由题意可得∠BPC=∠BAC,∠APC=∠ABC.∵∠BPC=∠APC=60°,∴∠BAC=∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.例4如图26-12,A,P,B,C是圆上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延长线相交于点D.(2)若∠PAC=90°,AB=23,求PD的长.图26-12(2)∵∠PAC=90°,∴PC是圆的直径,∴∠PBC=90°,∴∠PBD=90°.∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC=AB=23,∵∠BPC=60°,∴PB=23÷tan60°=2.∵∠APC=∠CPB=60°,∴∠DPB=60°,∴PD=2PB=4.|考向精练|如图26-13,A,P,B,C是☉O上的四点,∠APC=∠CPB=60°,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.(1)求证:△ACM≌△BCP;(2)若PA=1,PB=2,求△PCM的面积.图26-13解:(1)证明:∵∠APC=∠CPB=60°,∴∠BAC=∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°.∵CM∥BP,∴∠PCM=∠BPC=60°.又∵∠APC=60°,∴△PCM是等边三角形,∴PC=MC,∠M=60°.∵∠BCA-∠PCA=∠PCM-∠PCA,∴∠PCB=∠ACM,在△BCP和△ACM中,𝑃𝐶=𝑀𝐶,∠𝑃𝐶𝐵=∠𝑀𝐶𝐴𝐶𝐵=𝐶𝐴,∴△BCP≌△ACM.(2)∵△ACM≌△BCP,∴AM=PB=2,∴PM=PA+AM=1+2=3.∵△PCM是等边三角形,∴△PCM的面积=34PM2=934.如图26-13,A,P,B,C是☉O上的四点,∠APC=∠CPB=60°,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.(2)若PA=1,PB=2,求△PCM的面积.图26-13