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第28课时与圆有关的计算考点一正多边形和圆的相关计算考点聚焦设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.r=𝑅2-(𝑎2)2边心距周长l=na面积每个内角的度数①S=12nar(𝒏-𝟐)×𝟏𝟖𝟎°𝒏(续表)每个外角的度数②中心角的度数③𝟑𝟔𝟎°𝒏𝟑𝟔𝟎°𝒏【温馨提示】正六边形的边长等于其外接圆的半径,正三角形的边长等于其外接圆半径的3倍,正方形的边长等于其外接圆半径的2倍.考点二弧长与扇形面积公式弧长公式若一条弧所对的圆心角是n°,半径是R,则弧长l=④扇形面积公式(1)S扇形=⑤(n是圆心角度数,R是半径);(2)S扇形=12lR(l是弧长,R是半径)𝒏𝛑𝑹𝟏𝟖𝟎𝒏𝛑𝑹𝟐𝟑𝟔𝟎考点三阴影部分面积的计算1.规则图形的面积,直接利用对应公式计算.2.不规则图形的面积,要将图形的面积转化为可求图形的面积的和或差,常用方法有:(1)割补法;(2)拼凑法;(3)等积转化法;(4)平移法;(5)旋转法.考点四圆锥的侧面积与全面积图形圆锥简介(1)h是圆锥的高;(2)l是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的⑥;(3)r是底面圆半径;(4)圆锥的侧面展开图是扇形,其弧长等于圆锥底面⑦圆锥的侧面积S侧=⑧圆锥的全面积S全=S侧+S底=πrl+πr2πrl半径圆的周长题组一教材题对点演练1.[九上P108习题24.3第5题改编]如图28-1,要拧开一个边长a=12mm的六角形螺帽,扳手张开的开口b至少为mm.图28-1[答案]123[解析]如图,设正六边形ABCDEF的中心是点O,连接OA,BO,CO,AC,AC与BO交于点M.易得∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形.∵AB=12mm,∠ABO=60°,∴sin∠ABO=𝐴𝑀𝐴𝐵=32,∴AM=12×32=63(mm),∴AC=2AM=123(mm).2.[九上P115习题24.4第1题]填空:(1)75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm,则此弧所在圆的半径是cm;(2)一个扇形的弧长是20πcm,面积是240πcm2,则扇形的圆心角是;(3)用一个圆心角为120°,半径为4的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为.3.[九上P114练习第1题改编]圆锥的底面直径是80cm,母线长90cm,它的侧面展开图的圆心角是,圆锥的全面积是.𝟒𝟑150°6160°5200πcm24.[九上P115习题24.4第4题改编]如图28-2,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,图中阴影部分的面积为.图28-2[答案]π-22a2[解析]图中四个半圆都经过正方形的中心,用正方形的面积减去四个空白部分的面积,剩下的就是阴影部分的面积,而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空白部分的面积,所以所求阴影部分的面积为a2-a2-π·𝑎22×2=π-22a2.5.[九上P124复习题24第10题改编]往直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图28-3所示.若油面宽AB=600mm,则油的最大深度是mm.图28-3200【失分点】正多边形与圆的数量关系模糊;未能弄清圆锥侧面展开图的面积、弧长与圆锥的关系.题组二易错题B图28-46.如图28-4,已知圆内接正三角形的面积为3,则该圆的内接正六边形的边心距是()A.2B.1C.3D.327.已知圆锥的底面直径为2cm,母线长为10cm,则这个圆锥的侧面积是()A.10πcm2B.10cm2C.20πcm2D.20cm2A考向一正多边形和圆例1已知正六边形的半径为23,则这个正六边形的边长为,边心距为,面积为,中心角的度数为.[答案]2𝟑318𝟑60°[解析]如图,已知正六边形ABCDEF,OG⊥AB于G,则中心角为60°,AB=OA=23,∠AOG=30°,∴OG=OA·cos30°=23×32=3,正六边形面积为6×12×AB×OG=6×12×23×3=183.【方法点析】(1)以正n边形的半径R、边心距r和边长的一半为三角形的三边长可构成直角三角形.在正n边形中,共有2n个这样的直角三角形;(2)在正n边形中,构造直角三角形或特殊的三角形是解题常用方法.|考向精练|刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积S来近似估计圆O的面积,则S=.(结果保留根号)[答案]23[解析]如图:根据题意可知OH=1,∠BOC=60°,∴△OBC为等边三角形,∴𝐵𝐻𝑂𝐻=tan∠BOH=33,∴BH=33,∴S=12×33×1×12=23,故答案为23.例2(1)在半径为6cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长为cm;(2)已知扇形的圆心角为150°,它所对的弧长为20πcm,则此扇形的半径是cm.(3)已知扇形的半径为3cm,弧长是2πcm,则此扇形的圆心角等于度,扇形的面积是cm2.(结果保留π)考向二圆的切线的性质[答案](1)4π(2)24(3)1203π[解析](1)半径为6cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长为:120π×6180=4π(cm).(2)设扇形的半径是Rcm,则150π𝑅180=20π,解得R=24.(3)设扇形的圆心角为n度,则𝑛π·3180=2π,解得n=120,扇形的面积=120×π×32360=3π(cm2).|考向精练|1.[2019·长沙]一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是()A.2πB.4πC.12πD.24πC2.[2019·绍兴]如图28-5,△ABC内接于圆O,∠B=65°,∠C=70°,若BC=22,则𝐵𝐶的长为()A.πB.2πC.2πD.22π[答案]A[解析]在△ABC中,∠A=180°-∠B-∠C=45°,连接OB,OC,则∠BOC=2∠A=90°.设圆的半径为r,由勾股定理,得r2+r2=(22)2,解得r=2或r=-2(舍),所以𝐵𝐶的长为90π×2180=π,故选A.3.[2018·盐城]如图28-6,图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分.图②中相关数据:半径OA=2cm,∠AOB=120°.则图②的周长为cm(结果保留π).图28-6[答案]8π3[解析]∵半径OA=2cm,∠AOB=120°,∴𝐴𝐵的长=120·π·2180=4π3(cm),观察题图①可得:𝐴𝑂的长+𝑂𝐵的长=4π3(cm),∴题图②的周长=4π3+4π3=8π3(cm).[答案]A考向三阴影部分面积计算角度1直接分割求面积图28-7例3[2019·宿迁]如图28-7,正六边形的边长为2,分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆,与正六边形的外接圆围成的6个月牙的面积之和(阴影部分面积)是()A.63-πB.63-2πC.63+πD.63+2π[解析]图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和-(大圆的面积-正六边形的面积)=3π-4π-6×12×2×3=63-π.故选A.[答案]A例4[2019·南充]如图28-8,在半径为6的☉O中,点A,B,C都在☉O上,四边形OABC是平行四边形,则图中阴影部分的面积为()A.6πB.33πC.23πD.2π角度2等积转化求面积图28-8[解析]连接OB,∵四边形OABC是平行四边形,∴AB=OC,∴AB=OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵OC∥AB,∴S△AOB=S△ABC,∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB=60·π×36360=6π,故选:A.角度3与旋转有关的面积问题例5如图28-9,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC',使点C'落在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为cm2.图28-9[答案]14π[解析]∵∠BOC=60°,△B'OC'是由△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的,∴∠B'OC'=60°,△BCO≌△B'C'O,∴∠B'OC=60°,∠C'B'O=30°,∴∠B'OB=120°,∵AB=2cm,∴OB=1cm,OC'=12cm,∴B'C'=32cm,∴S扇形B'OB=120π×12360=13π(cm2),S扇形C'OC=120π×14360=π12(cm2),∴阴影部分面积=S扇形B'OB+S△B'C'O-S△BCO-S扇形C'OC=S扇形B'OB-S扇形C'OC=13π-π12=14π(cm2).【方法点析】用转化思想求不规则图形的面积时,常转化为易解决的基本图形的面积,然后求出各图形的面积,通过面积的和差求出结果.|考向精练|1.角度1[2019·广安]如图28-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D,则图中阴影部分的面积为()A.43π-3B.23π-32C.13π-32D.13π-3图28-10[答案]A[解析]∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,∴∠COD=120°,∵BC=4,BC为半圆O的直径,∴∠CDB=90°,OC=OD=2,∴CD=32BC=23,点O到CD的距离为1,∴图中阴影部分的面积=S扇形COD-S△COD=120·π×22360−12×23×1=4π3−3.故选A.2.角度2[2019·北京东城期末]如图28-11,以等边三角形ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D,交BC于点E,若AB=4,则阴影部分的面积是.图28-11[答案]3[解析]连接DE,OD,OE,则OA=OD=OE=OB,∵△ABC是等边三角形,∴∠CAB=60°,∴△AOD,△DOE,△EOB,△CDE全等,且都为等边三角形,∵AB=4,∴OA=OD=OE=OB=2,易知阴影部分面积=S△CDE=12×2×3=3.[答案]32πcm23.角度3[2019·扬州]如图28-12,将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB'C'D'的位置,若AB=16cm,则图中阴影部分的面积为.图28-12[解析]由旋转的性质得:∠BAB'=45°,四边形AB'C'D'≌四边形ABCD,则图中阴影部分的面积=四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积-四边形AB'C'D'的面积=扇形ABB'的面积=45π×162360=32π(cm2).例6(1)已知圆锥的母线长为4,底面半径为2,则圆锥的侧面积为;(2)将一个圆心角为120°,半径为6cm的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为;(3)如果圆锥的底面周长是20π,侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°,则其侧面积为(结果用含π的式子表示).考向四与圆锥的侧面展开图有关的问题[答案](1)8π(2)2cm(3)300π[解析](1)圆锥的侧面积为12×4×(2π×2)=8π.(2)设此圆锥的底面半径为rcm,由题意,得2πr=120π×6180,解得r=2(cm).(3)设侧面展开所得扇形的半径为R,则20π=120π·𝑅180,∴R=30,∴S圆锥侧=12×20π×30=300π.|考向精练|1.如图28-13,在Rt△ABC中,AC=5cm,BC=12cm,∠ACB=90°,把Rt△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的侧面积为()A.60πcm2B.65πcm2C.120πcm2D.130πcm2图28-13[答案]B[解析]AB=𝐵𝐶2+𝐴𝐶2=122+52=13(cm).这个几何体是圆锥,圆锥的底面半径AC=5cm,母线AB=13cm,圆锥的侧面积=πAC·AB=π×5×13=65π(cm2).故选B.2.[2019·淮安]若圆锥的侧面积是15π,母线长是5,则该圆锥底面圆的半径是.[答案]3[解析]设该圆锥底面圆的半径是r,则12×2πr×5=15π,解得r=3.