高中数学第一章集合11集合的含义及其表示互动课堂学案苏教版必修1

1.1集合的含义及其表示互动课堂疏导引导1.一般地，我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.疑难疏引（1）集合是数学中最原始的概念之一，无法给出它的定义，只能作描述性说明.（2）集合中元素的特征.确定性是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必具其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准；互异性是指给定一个集合，其中的任何两个元素都是不同的，即在同一个集合中，不能重复出现同一元素，这一点常被我们所忽略;无序性是指在一个集合中，元素之间都是平等的，它们都充当集合中的一员，无先后次序之分.●案例1当x为何值时，｛0，x，x2-x【探究】本题考查集合中元素的互异性，即同一集合中的元素必须是互不相同的.0，x，x2－x.在这里，只要看它是否满足互异性,要使｛0，x，x2－x｝不表示一个数集，只需x=0或x2-x=0或x2-x=x，即x=0或x=1x=2.【溯源】判断一组对象能否构成一个集合，关键是看这组对象是否同时具备集合元素的三个特征.考查该知识点的问题分正向和逆向思维两个角度，其解决问题的基础还是正确理解三个特征要求.2.疑难疏引.集合具有两方面.●案例2已知集合A=｛x｜x=m＋n2，m、n∈Z｝，判断下列元素x与集合A的关系：（1）x=231；（2）x=a，a∈Z；（3）x=x1＋x2（其中x1∈A，x2∈A）.【探究】本题考查元素与集合的关系.判断某对象是否为某集合的元素，关键在于判断它们是否具备该集合元素公有的属性,即将x值试着写成m＋n2的形式，若m、n是整数，便可完成判定，若无法表示成上式或m、n不为整数，则x不为集合中的元素.（1）x=231=3+2，即m=3，n=1，其中3Z∴231A.（2）x=a=a＋0×2（a∈Z，0∈Z），∴a∈A.(3)∵x1∈A,∴可设x1=m1+n12,同理可设x2=m2+n22.于是x=x1+x2=(m1+m2)+(n1+n2)2.∵m1、,m2、,n1、,n2∈Z,∴(m1+m2)∈Z,(n1+n2)∈Z.∴x∈A.【溯源】理解一个集合意义的重点在于抓住代表元素及公共属性，而判断元素与集合的关系，依据就是元素的公共属性，解题时需做必要的恒等变形.3.全体非负整数组成的集合称为非负整数集，记作N.所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+.全体整数组成的集合称为整数集，记作Z.全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q.全体实数组成的集合称为实数集，记作R.4.疑难疏引(1重复；③不考虑元素顺序；④对于含元素较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，可用列举法表示，但是必须把元素间的规律呈现出来后，才能用省略号表示，如｛1，2，3，…，n｝，｛1，3，5，7，9，…｝.(2）描述法：在使用描述法时应注意以下几点：①写清元素代号；②说清集合中元素的特性；③文字表述多层次时，应当准确使用“且”“或”；④所有描述的内容都写在集合括号内；⑤语句力求简明、确切，字句逐一说明.(3）图示法：Venn图法，采用平面上一条封闭曲线的内部表示集合.●案例3判断下列命题是否正确.（1）所有接近于π（2）方程x2+x+1=0（3）集合{y|y=x+1}与集合{(x,y)|y=x+1}（4）1，0，41，(2)0，0.25这些数组成的集合是一个五元集.【探究】本题主要考查集合的含义及特性，确定性要求构成集合的元素必须是确定的，不能用“接近”等模糊的词.方程x2+x+1=0虽然没有实数根，但可以构成空集.当且仅当两集合的元素完全相同时，两集合相等..（1）错误;（2）正确;（3）错误;（4）错误.【溯源】数学语言比生活语言更严密、精练，表达的含义更深刻.学习时,如果注意到这一点会使我们在理解上更清晰.●案例4（1）由所有被4（2）抛物线y=x2-2x（3）{21,43,65,87,109}.【探究】将集合中所有元素的共同性质表示出来，写成{x|p(x)}的形式就是描述法.其中x是代表元素，它取到的值就是集合的元素.p(x)指元素的共同属性.（1）{x|x=4n,n∈N};（2）{(x,y)|y=x2-2x};（3）{x|x=nn212,n=1,2,3,4,5}.【溯源】集合根据元素的性质可把集合分为数集（数构成的集合）、点集（点构成的集合）或其他集合（除去数集、点集，元素可以是世界万物）.活学巧用1.下列所给对象不能构成集合的是()A.B.C.某校高一（4D.【思路解析】由集合概念可知，组成集合的元素必须是明确的，而不能是模棱两可的.在A中对于任何一个点要么在这个平面内，要么不在这个平面内，因而它可以组成一个集合.在B中由于小于零的正数不存在，因此B也能组成一个集合，即空集.C中由于“高个子”没有一个确定的标准，因而不能判定一个学生到底是不是高个子，故它不能组成集合.而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场，以及是否买过货物是确定的，因此它也能组成一个集合.【答案】C2.下列对象不能构成集合的是()①方程x2－9=0的实数根③联合国常任理事国④空气中密A.①②B.①④C.①②④D.【思路解析】研究对象能否构成集合的问题一般主要考查集合元素的确定性.①③中的研究对象显然符合确定性；②中“著名”没有明确的界限；④中“密度大”的程度没有明确的界限.【答案】D3.0，x，x2－x【思路解析】｛0，x，x2－x｝能否表示一个数集，关键在于它是否具备集合的性质，在这里就只要看它是否满足互异性即可，故有x≠0且x2－x≠0且x2－x≠x，即x≠0且x≠1且x≠2.【答案】x≠0且x≠1且x≠2.4.下列各组对象：①聪明的学生;②所有的锐角三角形;③数学中的难题;④被3除余数是2的所有整数;⑤大于1且小于2的所有无理数.其中能构成集合的对象有组.……()A.1B.2C.3D.4【思路解析】由集合概念可知，组成集合的元素必须是明确的，而不能是模棱两可的.①、③不是.【答案】C5.若A={-1,2},B={x|x2+ax+b=0}，且A=B，则有()A.a=1,b=2B.a=1,b=-2C.a=-1,b=2D.a=-1,b=-2【答案】D6.用“∈”或“”填空:（1）0_________N*;（2）-1_________R;（3）0_________;（4）2_________Q;（5）π_________R;（6）-3_________Z.【思路解析】注意区别两个符号的含义.【答案】(1)(2)∈(3)(4)(5)(6)7.用适当的方法表示下列集合:（1（2）所有小于20（3（4）方程组3,12xxyxy的解集.【答案】（1）{x|x=2n-1,n∈Z}（2）{2，3，5，7，11，13，17，19}（3）{(x,y)|xy0}（4）{(2,3),(-2,-1)}.8.下列各组集合中，表示同一集合的是…()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={(3,2)},N={2,3}【答案】B9.当{a,0,-1}={4，b，0}时，a=__________,b=___________.【答案】4-110.（1）“intersection（2）{t|0t≤17,t=5k,k∈Z}（3）方程组03,02yxyx的解集.【思路解析】将集合的元素一一列举出来就是列举法，方程组的解是成对出现的，所以用点的坐标的形式表示.【解答】（1）{i，n，t，e，r，s，c，o};（2）{5，10，15};（3）{（1，2）}.11.设集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a+b与A、B的关系.【思路解析】首先看到a+b是元素，A、B是集合,所以a+b与A、B的关系应该是∈、的关系.【解答】∵a∈A，∴a=2k1（k1∈Z）.又∵b∈B∴b=2k2+1（k2∈Z）.∴a+b=2（k1+k2）+1.∵k1+k2∈Z，∴a+b∈B，a+bA.