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1．1集合的含义及其表示第1课时集合的含义1．通过实例理解并掌握集合的有关概念．2．初步理解集合中元素的三个特征．(重点)3．体会元素与集合的属于关系．(重点)4．掌握常用数集及其专用符号，初步认识用集合语言表示有关数学对象．(重点、易错易混点)[基础·初探]教材整理1集合的含义阅读教材P5开始至倒数第四自然段，完成下列问题．1．元素与集合的概念一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．集合中元素的特性集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)漂亮的花可以组成集合．()(2)在一个集合中可以找到两个(或两个以上)相同的元素．()【解析】(1)×.因为“漂亮”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．(2)×.因为集合中的元素具有互异性，故在一个集合中一定找不到两个(或两个以上)相同的元素．【答案】(1)×(2)×教材整理2元素与集合的关系阅读教材P5最后三个自然段，完成下列问题．1．元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素与集合的关系(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．(2)不属于(符号：∉或∈)，a不是集合A中的元素，记作a∉A或a∈A，读作“a不属于A”．3．常用数集及表示符号名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR用“∈”、“∉”填空．3．5________N；－4________Z；0.5________R；2________N*；13________Q.【解析】因为3.5不是自然数，故3.5∉N；因为－4是整数，故－4∈Z；因为0.5是实数，故0.5∈R；因为2不是正整数，故2∉N*；因为13是有理数，故13∈Q.【答案】∉∈∈∉∈[小组合作型]集合的含义观察下列各组对象能否组成一个集合？(1)2016年里约奥运会上中国队获得的金牌；(2)无限接近零的数；(3)方程x2－2x－3＝0的所有解；(4)平面直角坐标系中，第一象限内的所有点．【精彩点拨】判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定．【自主解答】(1)能．因为2016年里约奥运会上中国队获得的金牌是确定的．(2)不能．因为“无限接近”标准不明确，不具有确定性，不能构成集合．(3)能．因为方程x2－2x－3＝0的解为x1＝3，x2＝－1确定，所以可以组成集合，集合中有两个元素3和－1.(4)能．因为第一象限内的点是确定的点．一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合的过程为：[再练一题]1.判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2016年在校的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．【解】(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．(2)能构成集合．(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合．元素与集合的关系所给下列关系正确的序号是________．①－12∈R；②2∉Q；③0∉N*；④|－3|∉N*.【精彩点拨】注意各个数集的范围，尤其是其中的特殊数值．【自主解答】－12为实数，2是无理数，0为自然数，但非正整数，3为正整数．故①②③正确，④错误．【答案】①②③1．由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a∉A”这两种情况中必有一种且只有一种成立．2．符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．3．“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．[再练一题]2．设不等式3－2x0的解集为M，下列关系中正确的有________．(填序号)①0∈M,2∈M；②0∉M,2∈M；③0∈M,2∉M；④0∉M,2∉M.【解析】本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x0的解即可，当x＝0时，3－2x＝30，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－10，所以2∈M.【答案】②[探究共研型]集合元素的特征探究1某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合定义中“某些确定的”含义是什么？【提示】某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准，高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．“某些确定的”含义是集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个对象在不在这个集合中就确定了．探究2有同学说，在某一个集合中有a，－a，|a|三个元素，他说的对吗？【提示】这种说法是错误的，因|a|＝aa，－aa，且若a＝0，则a，－a，|a|均为0，这些均与元素的互异性矛盾．探究3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？【提示】两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性，只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．若集合A中有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，求实数a的值．【精彩点拨】按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三类分别求解a的值，注意验证集合A中元素是否满足互异性．【自主解答】(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时满足题意；(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，满足题意；当a＝－1时，由(2)知，不满足题意．综上可知，a＝0或a＝1.1．集合元素特性中的互异性，指的是一个集合中不能有两个相同的元素，利用其可以解决一些实际问题，如三角形中的边长问题及元素能否组成集合问题．2．求解字母的取值范围：当一个集合中的元素含有字母，求解字母的取值范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验，防止产生增解．(如本题中的a＝－1)[再练一题]3．已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．【解析】因为1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝－1或1.当a＝1时，集合A的元素是1和1，不符合集合中元素的互异性，故a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1和－1，符合集合中元素的互异性，故a＝－1.【答案】－11．下列能构成集合的有________．①中央电视台著名节目主持人；②我市跑得快的汽车；③上海市所有的中学生；④香港超过100层的高楼．【解析】①②中研究的对象不确定，因此不能构成集合．【答案】③④2．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R；②23∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.【解析】∵π是实数，23是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数是2.【答案】23．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是下面给出的________．①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．【解析】由元素的互异性知a，b，c均不相等．【答案】④4．若x∈N，则满足2x－50的元素组成的集合中所有元素之和为________．【解析】由2x－50，得x52，又x∈N，∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3.【答案】35．判断下列语句是否正确？(1)由1,2,2,4,2,1构成一个集合，这个集合共有6个元素；(2)2012年末世界上的人构成一个无限集；(3)某一时刻，地球的所有卫星构成一个集合；(4)高一(1)班性格开朗的女生构成一个集合．【解】(1)不正确，由集合中元素的互异性可知，该集合有3个元素．(2)不正确，2012年末世界上的人构成一个有限集．(3)正确．(4)不正确，因为性格开朗没有一个明确的标准，所以性格开朗的女生构不成集合．