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信号处理与数据分析位礼奎2016年4月希尔伯特-黄变换中国矿业大学内容概要概述固有模态函数（IMF）的概念经验模态分解（EMD）希尔伯特-黄变换EMD和HHT的应用一、概述各类信号处理方法的特点傅里叶变换：整体变换，不能表示随时间变化的频率，只适应于分析线性平稳信号；STFT：可分析非平稳信号，但时-频窗是固定的，只可分析缓变信号；小波分析：具有多分辨率性，但没有局部自适应性；希尔伯特-黄变换（HHT）：针对非平稳信号提出的。希尔伯特-黄变换的概念希尔伯特—黄变换（HHT）是20世纪末由N.E.Huang等人首次提出的一种新的信号分析理论方法。其主要创新：固有模态函数（IntrinsicModeFunction,IMF）和经验模态分解（ExpiericalModeDecomposition,EMD）.通过EMD，将信号分解成IMF之和，对每个IMF做Hilbert变换，可以得到有意义的瞬时频率，从而给出频率随时间变化的精确表达。HHT是一种新的自适应时频分析方法，消除人为因素。分辨率高，时频聚集性好，适合非平稳非线性分析。二、固有模态函数（IMF）的概念固有模态函数（IMF）的概念–IMF需满足以下两个条件：•在整个数据集中，极值点的个数与零交叉点的个数必须相等或至多相差一个点。•在任意时刻，由极大值点构成的上包络和由极小值点构成的下包络的均值为零。–其中第一个条件类似于高斯正态平稳过程的传统窄带要求，而第二个条件可以保证由IMF求出的瞬时频率有意义。–之所以称这样的分量为固有模态函数，是因为它表示了信号中振荡的模式。IMF举例IMF举例的说明–上页图(a)给出了典型的IMF。图中极大值点和极小值点共13个，而过零点共13个，所以图示信号满足条件（1）。上包络v1(t)和下包络v2(t)对t轴是对称的，所以上下包络的均值为零，满足条件（2）。–图(b)给出了非IMF的示意图。图中上包络v1(t)与下包络v2(t)显然不关于时间轴对称，其均值不为零；极大值点与极小值点共有12个，而过零点只有7个。这个信号不满足条件（1）和条件（2），所以它不能作为IMF。IMF的进一步说明–Hilbert变换中，瞬时频率定义为相位函数相对于时间的一阶导数。–一个信号只有在它关于信号均值局部对称下才能定义瞬时频率。IMF表示了信号中振荡的模式，与信号的瞬时频率密切相关。–对于每一个IMF，其瞬时频率可求。–实际应用中的信号大多不是IMF，因此用Hilbert变换不易描述瞬时频率。–为了获得瞬时频率，需要将信号分解为IMF。–IMF不再要求窄带，可以是幅度频率调制的。三、经验模式分解（EMD）经验模式分解（EMD）–是Huang等人引入的一个对信号进行分解，以获得IMF的方法，又称为筛法；–三个假设：•信号至少有一个极大值点和一个极小值点；•特征时间尺度有极值点间的时间推移定义；•如果整个信号只包含曲折点而不包含极值点，可以先微分一次或多次找到极值点，然后再所得到的分量进行积分以得到最后结果。EMD分解方法：【设原信号为x(t)】–(1)确定x(t)的所有局部极大值点和局部极小值点。–(2)用三次样条分别对所有局部极大值拟合成上包络𝑒𝑚𝑎𝑥(𝑡)，对所有局部极小值拟合成下包络𝑒𝑚𝑖𝑛(𝑡)。–(3)计算上下包络的均值：𝑚𝑡=[𝑒𝑚𝑎𝑥𝑡+𝑒𝑚𝑖𝑛(𝑡)]/2。–(4)原信号减去均值𝑚𝑡，得到一个初步的模式函数，𝑐𝑖𝑡=𝑥𝑡−𝑚(𝑡)。–(5)判断𝑐𝑖𝑡是否满足IMF条件：若不满足，对𝑐𝑖𝑡循环执行(1)—(4)。若满足，𝑐𝑖𝑡则为一IMF，𝑟𝑖𝑡=𝑥𝑡−𝑐𝑖𝑡为余项，对𝑟𝑖𝑡继续循环分解，当𝑟𝑖𝑡小于预先确定的阈值或为单调函数时，过程结束。EMD分解原理图信号的IMF表示𝑥𝑡=𝑐𝑖𝑡+𝑟𝑛(𝑡)𝑛𝑖=1–其中，𝑐𝑖𝑡为各IMF分量，𝑟𝑛(𝑡)为余项，是信号的趋势项。–从分解过程中可以看出，EMD主要利用待分解信号自身的特点，算法比较简单，自适应性强，而且不需要对信号作任何假设，因而可以实现对多种不同信号自适应的分解。EMD分解举例•【例】复合信号的分解–设信号由3各信号复合而成：（1）频率为5Hz、幅度为0.5的三角波；（2）频率为2Hz、幅度为0.5的正弦波；（3）频率为0.5Hz、幅度为1的正弦波。采样频率为100Hz，共1000个样本点，进行信号分解。EMD分解012345678910-0.500.5imf1012345678910-101imf2012345678910-202imf3012345678910-0.500.5r3t/s进一步说明–EMD分解得到的第1个分量IMF1包含了原信号中5Hz的三角波，然后依次提取出2Hz的正弦波和0.5Hz的正弦波。表示信号的中心趋势，可以看出其幅度几乎为零。3个IMF分量与原信号的相关系数都接近1。因此，EMD分解结果准确地反映了信号的自身的特点。四、希尔伯特—黄变换希尔伯特—黄变换（HHT）的概念–希尔伯特-黄变换是Huang等人在1998年提出经验模式分解方法后，并引入了Hilbert谱的概念和Hilbert谱分析方法。–美国国家航空和宇航局（NASA）将这一方法命名为Hilbert-HuangTransform，简称HHT，即希尔伯特-黄变换。–其主要内容包括：EMD分解和希尔伯特谱。HHT的主要内容–通过EMD分解，将信号分解成各IMF（一般为有限数目）之和。–对每个IMF进行Hilbert变换，可以获得有意义的瞬时频率，从而给出频率随时间变化的精确表达。–信号最终被表示为时频平面上的能量分布，称为Hilbert谱。–进而还可以得到边际谱。HHT的用途–HHT是一种新的具有自适应的时频分析方法；–它可根据信号的局部时变特征进行自适应的时频分解，消除了人为因素；–克服了传统方法中用无意义的谐波分量来表示非平稳、非线性信号的缺陷；–可得到很高的时频分辨率，具有良好的时频聚集性；–非常适合对非平稳信号和非线性信号进行分析。希尔伯特谱–在利用EMD方法分解得到信号x(t)的各个IMF后，可对每一个IMF分量做Hilbert变换，即𝑐𝑖(𝑡)做Hilbert变换，即–𝑐𝑖(𝑡)与𝐻𝑐𝑖(𝑡)为共轭复数对。构造解析信号𝑧𝑖(𝑡)为–式中，幅值𝑎𝑖(𝑡)和相位∅𝑖(𝑡)分别为：希尔伯特谱（续）–进一步可以求出瞬时频率𝑤𝑖(𝑡)为–这样原始数据x(t)可以表示为希尔伯特谱（续2）–这里省略了残差𝑟𝑛(𝑡)，称为Hilbert谱，记–进一步可得到Hilbert边际谱为–式中，T表示总的数据长度，精确地描述了信号的幅值在整个频率段上随时间和频率的变化规律；而ℎ(𝑤)反映了在整个信号时间跨度上，每个频率成分对幅值的贡献，即表示在整个时间跨度上统计学意义上的累积幅度。HHT的关键技术问题–曲线拟合问题：直接影响EMD分解的结果，从而影响HHT的完善与应用。目前采用的方法：•三次样条插值法；•分段幂函数法；•改进的三次样条插值法。–端点处理问题：有限长数据端点处理，采用的方法：•特征波法；•镜像延拓法；•边界全波法；•波形匹配预测法五、EMD和HHT的应用EMD和HHT的应用地球物理生物医药结构分析设备诊断