指数不等式与对数不等式

4.7指数不等式与对数不等式【复习目标】掌握一些简单的指数不等式与对数不等式的解法.【知识回顾】1.指数幂中含有未知数的不等式叫做指数不等式.2.对数的底或真数中含有未知数的不等式叫做对数不等式.3.解指数不等式与对数不等式,要充分利用指数函数和对数函数的性质,把原不等式化成等价的不等式组进行求解,有时要用到换元法.【例题精解】【解】(1)(𝟏𝟐)𝟐𝒙𝟐+𝟓𝒙+𝟓𝟏𝟒,两边化为同底指数幂:(𝟏𝟐)𝟐𝒙𝟐+𝟓𝒙+𝟓(𝟏𝟐)2根据指数函数的单调性得:2x2+5x+52即(2x+3)(x+1)0-𝟑𝟐x-1所以解集为:(-𝟑𝟐,-1)【点评】在高考中经常出现这类型不等式,请同学们分析它的解法,然后自己解第(2)问.【例1】解不等式(1)(𝟏𝟐)𝟐𝒙𝟐+𝟓𝒙+𝟓𝟏𝟒(2)𝟑𝒙𝟐+𝒙(𝟏𝟑)x-3【解】(1)lo𝒈𝟏𝟐(4x-1)lo𝒈𝟏𝟐(2x+3)根据对数函数意义与单调性得:𝟒𝒙−𝟏𝟎𝟐𝒙+𝟑𝟎𝟒𝒙−𝟏𝟐𝒙+𝟑即𝒙𝟏𝟒𝒙−𝟑𝟐𝒙𝟐所以解集为:(𝟏𝟒,2)【点评】在高考中经常出现这类型不等式,解题时要特别注意什么?请同学们分析它的解法,然后自己解第(2)问.【例2】解不等式(1)lo𝒈𝟏𝟐(4x-1)lo𝒈𝟏𝟐(2x+3)(2)log2x≥log4(3x+4)【例3】解不等式:32x-3x+2-3x-2+10【解】设3x=t则原不等式等价于t2-(9+𝟏𝟗)t+10解得:𝟏𝟗t9即有:𝟏𝟗3x9取以3为底的对数得:log3𝟏𝟗xlog39即得到:-2x2所以原不等式的解集为(-2,2)【点评】在解指数不等式时经常用到换元法,取对数.【分析】求函数y=log(x-1)(64-4x)的定义域要同时考虑到底与真数的取值范围.【解】要使函数y=log(x-1)(64-4x)有意义,必须𝟔𝟒−𝟒𝒙𝟎𝒙−𝟏𝟎𝒙−𝟏≠𝟏解得:𝒙𝟑𝒙𝟏𝒙≠𝟐即1x3且x≠2所以,所求定义域为{x|1x3且x≠2}【例4】求函数y=log(x-1)(64-4x)的定义域【同步训练】【答案】D一、选择题1.函数y=𝟐𝒙−𝟒的定义域是()A.{x|x2}B.{x|x≤2}C.{x|x2}D.{x|x≥2}【答案】D2.不等式2x3等价于()A.xlog32B.xlog32C.xlog23D.xlog23【答案】A3.若3(𝟏𝟑)x27,则()A.-3x-1B.-1x3C.x-1或x3D.1x3【答案】A4.不等式𝟒𝒙𝟐−𝟐𝒙−𝟑(𝟏𝟐)6(x-1)的解集是()A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(-2,3)D.(-∞,-3)∪(2,+∞)【答案】D5.函数y=(𝟏𝟐)𝒙𝟐+𝟐𝒙的值域是()A.(0,+∞)B.(2,+∞)C.(0,2)D.(0,2]【答案】B6.不等式𝟔(𝒙𝟐+𝒙−𝟐)1的解集是()A.(-1,2)B.(-2,1)C.RD.∅【答案】B7.函数y=lo𝒈𝟏𝟐(x2-6x+17)的值域是()A.RB.(-∞,-3]C.[3,+∞)D.[8,+∞)【答案】C8.不等式log0.3(x2-3x-4)-log0.3(2x+10)0的解集是()A.(-2,-1)B.(4,7)C.(-2,-1)∪(4,7)D.∅二、填空题9.若2x4,则x的取值范围是.10.函数y=(lo𝒈𝟏𝟑x+2)0的定义域是.11.不等式(𝟏𝟐)x3的解集是.12.不等式log2(x+1)3的解集是.(-∞,2)(0,9)∪(9,+∞)(-1,7)(lo𝒈𝟏𝟐3,+∞)【解】(1)(𝟏𝟐)x8,(𝟏𝟐)x(𝟏𝟐)-3得x-3∴不等式解集为(-∞,-3)三、解答题13解下列指数不等式(1)(𝟏𝟐)x8(2)(𝟏𝟐)x53)9x-8·3x-90(2)(𝟏𝟐)x5,(𝟏𝟐)x(𝟏𝟐)𝒍𝒐𝒈𝟏𝟐𝟓,得xlo𝒈𝟏𝟐5∴不等式解集为(lo𝒈𝟏𝟐5,+∞)(3)9x-8·3x-90,(3x)2-8·3x-90分解:(3x-9)(3x+1)0∵3x+10∴只有3x-90得x2∴解集为(-∞,2)14解下列对数不等式(1)lo𝒈𝟏𝟐(4x2-x)1(2)lg(x+2)-lg(x-3)1(3)log4(3x-2)log2(x-2)(3)log4(3x-2)log2(x-2)由对数性质得𝒙−𝟐0𝟑𝒙−𝟐(𝒙−𝟐)𝟐解得:{x|x6}【解】(1)lo𝒈𝟏𝟐(4x2-x)1由对数性质得𝟒𝒙𝟐−𝒙0𝟒𝒙𝟐−𝒙𝟏𝟐得{x|-𝟏𝟒x0}∪{x|𝟏𝟒x𝟏𝟐}(2)lg(x+2)-lg(x-3)1由对数性质得𝒙−𝟑0𝒙+𝟐𝒙−𝟑10得{x|3x𝟑𝟐𝟗}