【2020-2021自招】湖南衡山县岳云中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】

第一套：满分150分2020-2021年湖南衡山县岳云中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A.B.C.D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线yx2与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．6．（6分）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（）A.31003B.320136C.310073D.67147．（6分）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）A．≤a≤1B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤28．（6分）如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（）A.n25B.n22C.n31D.n23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是．10．（7分）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是．13．（7分）设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|=．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,xyz满足：1xyyzzx,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx.(1)求111xyyzzx的值.(2)证明:9()()()8()xyyzzxxyzxyyzzx.16．（12分）如图，ABC△是等腰直角三角形，CACB，点N在线段AB上（与A、B不重合），点M在射线BA上，且45NCM。求证：222MNAMBN。17．（12分）在0与21之间插入n个正整数1a，2a，…，na，使其满足12021naaaL。若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，1a，2a，…，na，21这2n个数中某两个数的差。求n的最小值。18．（12分）如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．19.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．第一套：满分150分2020-2021年湖南衡山县岳云中学初升高自主招生数学模拟卷参考答案一.选择题：1.【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．2.【答案】C。解答：①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4。故结论②正确。③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m=x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。综上所述，正确的结论有2个：②③。故选C。3.【答案】B。【分析】∵根据题意，得xy=20，∴20y=x0,y0x。故选B。4.【答案】B。【分析】如图，在yx2中，令x=0，则y=－2；令y=0，则x=2，∴A（0，－2），B（2，0）。∴OA=OB=2。∴△AOB是等腰直角三角形。∴AB=2，过点O作OD⊥AB，则OD=BD=12AB=12×2=1。又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。∴直线y=x-2与⊙O相切。故选B。5.【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．6.解答：解：∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AC==BC=6，∴S△ABC=AC•BC=6，∵D1E1⊥AC，∴D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，∵D1是斜边AB的中点，∴D1E1=BC，CE1=AC，∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC；∴在△ACB中，D2为其重心，∴D2E1=BE1，∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC，∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；∴Sn=S△ABC；∴S2013=×6=．故选C．7.【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y=ax2得a=2，把B点代入y=ax2得a=，则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．故选D．【点评】此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．8.解答：解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，∴平行四边形ABC1O1的面积为，∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，…，依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．二、填空题9．【分析】根据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．【解答】解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，由②式又可变化为=26，把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3=13，再代入又得﹣3=9，解得ab=﹣27，又因为a+b=26，所以解这个方程组得或，于是（1），解得；（2），解得．故答案为和．【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．10．【分析】分a=0，a≠0两种情况分析．【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，∴a=0，则左边式子ax=0，∴b＜0一定成立，∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．【点评】本题是利用了反证法的思想11．【分析】先根据﹣1≤x≤2，确定x﹣2与x+2的符号，在对x的符号进行讨论即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，则最大值与最小值之差为1．故答案为：1【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解．12．【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值，因为纵坐标分别是1，3，5…，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007﹣1=4013，所以P2007的坐标是（Px2007，4013），那么可根据P点都在反比例函数y=上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|=|Qy2007﹣Py2007|，由此可得出结果．【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），又∵P2007在y=上，∴Px2007=．而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．故答案为：．【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．13．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题．【解答】解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=∴n=120°即