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3线段的垂直平分线第2课时【知识再现】线段垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_________.线段垂直平分线判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的_______________上.相等垂直平分线【新知预习】阅读教材P24-25,解决以下问题1.三角形三条边的垂直平分线的性质探究:利用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置,并测量各个交点到三角形顶点的距离.结论:①锐角三角形三边的垂直平分线交点在______________;直角三角形三边的垂直平分线交点在____________;钝角三角形三边的垂直平分线交点在______________.②三角形三边的垂直平分线交点到三个顶点的距离_________.三角形内斜边上三角形外相等你发现的规律:三角形三条边的垂直平分线交于__________,且这一点到三角形三个顶点的距离_________.一点相等2.利用三角形三条边的垂直平分线的性质尺规作图已知底边及底边上的高,能用尺规作出等腰三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线.【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部,那么这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形C2.如图,已知点O是等腰三角形三边垂直平分线的交点,AB=AC,且∠A=50°,则∠BOC的度数是__________.100°知识点一三角形三条边的垂直平分线的性质【典例1】已知:如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P.则下列结论一定成立的个数为()B①PA=PB=PC.②点P在AC的垂直平分线上.③∠BPC=90°+∠BAC.④∠BAP=∠CAP.A.1个B.2个C.3个D.4个12【学霸提醒】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.【典例2】如图,点P为△ABC三边垂直平分线的交点,若∠PAC=20°,∠PCB=30°,求∠PAB的度数.【规范解答】∵P为△ABC三边垂直平分线的交点,∴PA=PC=PB,……………………三角形三条边的垂直平分线的性质∴∠PAC=∠PCA=20°,…………等边对等角∠PBC=∠PCB=30°,…………等边对等角∵∠PAB=∠PBA,∴∠PAB=(180°-2×20°-2×30°)……………………三角形内角和等于180°=40°.12【学霸提醒】利用线段垂直平分线的性质得到PA=PB=PC是解题的关键.再由等腰三角形的性质证得∠PAC=∠PCA=20°,∠PBC=∠PCB=30°,由∠PAB=∠PBA,根据三角形的内角和即可推出结论.【题组训练】1.(2019·菏泽牡丹区期中)如图,有A,B,C三个居民小区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在()BA.AC,BC两边高线的交点处B.AC,BC两边垂直平分线的交点处C.AC,BC两边中线的交点处D.∠A,∠B两内角平分线的交点处★2.如图,在△ABC中,点D是边AB,BC的垂直平分线交点,连接AD并延长交BC于点E,若∠AEC=3∠BAE=3α,则∠CAE=_____________(用含α的式子表示).90°-2α★★3.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于点D,垂足分别为E,F.已知∠BAC=100°,∠EDF等于80°,∠ACB=30°,求∠ABD的度数.世纪金榜导学号解:连接AD,∵边AB,AC的垂直平分线相交于点D,∴BD=AD,AD=CD,∴∠DBA=∠DAB,∠DCA=∠DAC,BD=CD,∴∠DBC=∠DCB,设∠DBC=∠DCB=x°,∵∠BAC=100°,∠ACB=30°,∴∠ABC=50°,∴x+50+30+x=100,解得:x=10,即∠DBC=10°,∴∠ABD=10°+50°=60°.知识点二利用三角形三条边的垂直平分线的性质尺规作图【典例3】如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为()C12A.7B.14C.17D.20【学霸提醒】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.解题时要注意数形结合思想的应用.【题组训练】1.如图,已知线段a,h,作等腰△ABC,使AB=AC,且BC=a,BC边上的高AD=h.张红的作法是:①作线段BC=a;②作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D;③在直线MN上截取线段h;④连接AB,AC,则△ABC为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是()A.①B.②C.③D.④C★2.如图所示,A,B是直线l外两点,在l上求作一点P,使PA+PB最小,其作法是()A.连接BA并延长与l的交点为PB.连接AB,并作线段AB的垂直平分线与l的交点为PDC.过点B作l的垂线,垂线与l的交点为PD.过点A作l的垂线段AO,O是垂足,延长AO到A′,使A′O=AO,再连接A′B,则A′B与l的交点为P★3.如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;12②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为世纪金榜导学号()A.90°B.95°C.100°D.105°D★★4.如图所示,A,B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄,A村到公路l的距离AC=1km,B村到公路l的距离BD=2km,B村在A村的南偏东45°方向上.世纪金榜导学号(1)求A,B两村之间的距离.(2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P的位置.(保留作图痕迹,并简要写明作法)解:(1)根据题意可得∠A=∠B=45°,∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形.∴AO=,BO=2.∴A,B两村的距离为AB=AO+BO=+2=3(km).22222(2)作法:①分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧交于两点M,N,作直线MN;②直线MN交l于点P,点P即为所求.12【火眼金睛】在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.正解:∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴A与E都在线段BC的垂直平分线上,则AD垂直平分BC.【一题多变】如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F.(1)若△CMN的周长为20cm,求AB的长.(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.解:(1)∵DM是AC边的垂直平分线,∴MA=MC,∵EN是BC边的垂直平分线,∴NB=NC,AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20cm.(2)∵MD⊥AC,NE⊥BC,∴∠ACB=180°-∠MFN=110°,∴∠A+∠B=70°,∵MA=MC,NB=NC,∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B,∴∠MCN=40°.【母题变式】【变式一】(变换条件)如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为6cm,△OBC的周长为16cm.(1)求线段BC的长.(2)连接OA,求线段OA的长.(3)若∠BAC=120°,求∠DAE的度数.解:(1)∵l1是AB边的垂直平分线,∴DA=DB,∵l2是AC边的垂直平分线,∴EA=EC,BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm.(2)(3)略【变式二】(变换问法)如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线交BC,AB于点E,M,边AC的垂直平分线交BC,AC于点F,N,△AEF的周长是10.若∠B+∠C=45°,EF=,求△AEF的面积.92略