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4角平分线第2课时【知识再现】1.角平分线的性质定理:角的平分线上的点到__________________相等.2.角平分线的判定定理:在一个角的内部,到角的两边_____________的点,在这个角的_____________上.角两边的距离距离相等角平分线【新知预习】阅读教材P30-31,回答以下问题.探究1:作三角形的三个内角的角平分线,你发现了什么?发现:(1)三角形的三个内角的角平分线交于_______;(2)这个交点到三角形_________的距离相等.一点三边探究2:尝试证明上述结论已知:如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:P点在∠BAC的平分线上.证明:过P点作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,其中点D,E,F是垂足.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE(____________________________________________).同理:__________.∴PD=PF.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等PE=PF∴点P在∠BAC的平分线上(_____________________________________________________________).另外易证:PD=PE=PF.在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上归纳:三角形角平分线性质定理:三角形的三条角平分线相交于_________,并且这一点到_______________相等.一点三条边的距离探究3:比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形_______一点交于三角形_______一点钝角三角形交于三角形_______一点直角三角形交于斜边的_________交点性质到三角形_____________的距离相等到三角形_________的距离相等内外中点内三个顶点三边【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.△ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线相交于点O,那么下列说法不正确的是()DA.点O一定在△ABC的内部B.∠C的平分线一定经过点OC.点O到△ABC三边的距离一定相等D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等2.在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪三边的距离相等,凉亭的位置应选在()A.三角形的三条中线的交点处B.三角形的三边的垂直平分线的交点处C.三角形的三条角平分线的交点处D.三角形的三条高所在直线的交点处C3.如图,点P是∠AOB的平分线上一点,过点P作PC∥OA交OB于点C,若OC=2,P到OA的距离PD等于,则OP等于_________.332知识点三角形三个角的平分线的性质(P30例2拓展)【典例】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度.【规范解答】连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,∴OE=OD=OF,…………三角形角平分线的性质设OE=OF=OD=R,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,由勾股定理得:AC=6,…………勾股定理∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,………………………………全量等于分量的和∴AC·BC=AB·OE+AC·OD+BC·OF,……………………三角形的面积公式∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2,…………解方程∴OD的长为2.12121212【学霸提醒】1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把原三角形分割成了三个小三角形,利用三个小三角形面积之和等于原三角形的面积,即等积法即可求出交点到三边的距离.2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找线段相等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来求解.【题组训练】1.如图,O是△ABC的角平分线的交点,△ABC的面积为2,周长为4,则点O到BC的距离为()A.1B.2C.3D.无法确定A★2.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为40和28,则△EDF的面积为()A.12B.6C.7D.8B★★3.在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.世纪金榜导学号(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD=.(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求S△ABD∶S△ACD的值(用含m,n的代数式表示).(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC=.解:(1)过点A作AE⊥BC于点E,∵点D是BC边上的中点,∴BD=DC,∴S△ABD∶S△ACD答案:1∶1(2)(3)略1BDAE21CDAE11.2＝∶＝∶【火眼金睛】如图,已知D,E分别是△ABC的BC,AC边上一点,AE=AB,DB=DE.求证:AD是△ABC的角平分线.正解:在△ADE与△ADB中,AE=AB,DE=DB,AD=AD,∴△ADE≌△ADB(SSS),∴∠EAD=∠BAD,∴AD是△ABC的角平分线.【一题多变】如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于()A.1∶1∶1B.1∶2∶3C.2∶3∶4D.3∶4∶5C【母题变式】【变式一】(变换条件、问法)已知,在△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F是垂足,且AB=10,BC=8,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别是世纪金榜导学号()AA.2,2,2B.3,3,3C.4,4,4D.2,3,5【变式二】(变换条件、问法)如图,已知△ABC的周长是21,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=4,△ABC的面积是()A.25B.84C.42D.21C