梯度下降法

梯度下降法阿育王2017.6.131.引言梯度下降（GD）是最小化风险函数、损失函数的一种常用方法。在应用机器学习算法时，通常采用梯度下降法来对采用的算法进行训练。梯度下降法包含三种不同形式：批量梯度下降BGD（BatchGradientDescent）随机梯度下降SGD（StochasticGradientDescent）小批量梯度下降法MBGD(Mini-BatchGradientDescent)下文将以线性回归算法为例来对三种梯度下降法进行比较2.先导知识一元线性回归(拟合曲线)假设这里存在m=6组数据(x,y)从图上可以看出，大致数据的大致走势是可以用线性模型y=kx+b来表示的，为此我们建立一维线性回归模型。假设一维线性模型表达式如下：其中：hƟ(x)是假设函数，即要拟合的函数θ为待求解参数，即要迭代求解的值，θ求解出来了那最终要拟合的函数hƟ(x)就确定了。n表示输入特征数，为方便计算，所有的样本都加入了x0=1这个特征，所以维数为n+1维。对应的损失/误差函数，即估计值与真实值之间的差距，这里用2-范数表示为：其中：m是训练集的样本个数1/2是为了后面求导计算方便一个二维参数（θ0，θ1）组对应能量函数（描述整个系统的优化程度，随着网络的变化而减小，最终网络稳定时能量达到最小）的可视化图3.批量梯度下降法BGD更新算法的目的：误差函数尽可能小，即求解参数使误差函数尽可能小。主要思想：首先，随机初始化参数；然后，不断反复的更新参数使得误差函数减小，直到满足要求时停止。梯度下降算法，利用初始化的参数θ并且反复更新参数θ：α代表学习率，表示每次向着函数J最陡峭的方向迈步的大小（步长？）（1）将J(θ)对θ求偏导，得到每个θ对应的的梯度当m=1时，即只有一个样本数据（x,y），J对第j个参数θj的偏导数是：对所有m个样本数据，上述损失函数的偏导（累和）为：（2）由于是要最小化风险函数，所以按每个参数θ的梯度负方向，来更新每个θj(j=0,1,2,…,n)上例中，利用BGD求得由更新公式可知，批量梯度下降得到的是一个全局最优解，每一次的参数更新都用到了所有的训练数据，如果训练数据非常多的话，执行效率较低。批量梯度下降法的收敛图（迭代的次数相对较少）：4.随机梯度下降法SGD由于批梯度下降每更新一个参数的时候，要用到所有样本，所以训练速度会随着样本数量的增加而变得非常缓慢。随机梯度下降正是为了解决这个办法而提出的。它是利用单个样本的损失函数对θ求偏导得到对应的梯度，来更新θ。上例中，利用SGD求得随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次，如果样本量很大的情况（例如几十万），那么可能只用其中几万条或者几千条的样本，就已经将参数迭代到最优解。对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十几万训练样本，一次迭代不可能最优，如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。SGD的问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。随机梯度下降收敛图（SGD迭代的次数较多，在解空间的搜索过程看起来很盲目。但是大体上是往着最优值方向移动。）5.小批量梯度下降法MBGD为综合解决BGD的训练速度慢，以及SGD的准确性低的问题，提出MBGD它是利用部分样本的损失函数对θ求偏导得到对应的梯度，来更新θ。6.总结方法优点缺点BGD最小化所有训练样本的损失函数，使得最终求解的是全局的最优解如果样本值很大的话，更新速度会很慢。SGD最小化每个样本的损失函数，大大加快更新速度，最终的结果在全局最优解附近。训练数据的噪声较多，导致不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向。MBGD训练速度快，参数准确性高不同的问题需要设置不同的小批量值。参考文献