求一次函数表达式的方法：23招经典解法

第五、六课时一次函数表达式的方法解法（23招）安徽省池州市贵池区梅龙初级中学黄老师（QQ：495014580）四、求一次函数的表达式基本解法1、待定系数法（1）图象过原点：函数为正比例函数，可设表达式为y=kx，再找图象上除原点外的一个点的坐标代入表达式，即可求出k.（2）图象不过原点：函数为一般的一次函数，可设表达式为y=kx+b，再找图象上的两个点的坐标代入表达式，即可求出k，b。例：（中考常州）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数且0k）的图象经过点A（0，－2）和点B（1，0），则k=______，b=______.答案：k=2，b=－2例：（中考重庆）已知正比例函数)0(kkxy的图象经过点（1，－2），则这个正比例函数的表达式为______答案：y=－2x常见解法：1、定义式例，已知函数3)3(82mxmy是一次函数，求其解析式。解析：该函数是一次函数182m解得，m=±3,又m≠3∴m=－3故解析式为：y=－6x+32、点斜式要点：如何求k？（1）公式：1212xxyyk（2）图象（比值）：|k|=BCAB(两直角边的比）（3）增量：V（速度）、P（电功率）（4）每每（美美题）：（5）平移变换：k值相等（6）垂直变换：121kk（7）对称变换：|k|、|b|不变（8）相似比：(略)（9）正切值：tanα（斜率）（10）旋转变换：（略）例，已知一次函数y=kx－3的图象过点（2，－1），求这个函数解析式。解析：方法一：（代入法）将点（2,－1）代入y=kx－3得，－1=2k－3，解得，k=1故解析式为：y=x－3方法二：（一点式）解析：一次函数y=kx－3的图象过点（2，－1）可令y=k(x－2)－1=kx－2k－1－2k－1=－3,解得，k=1这个函数解析式为y=x－33、两点式例，一次函数经过（－2，0)、(0，4),求此函数的解析式。解析：方法一：（构建方程组）令解析式为y=kx+b,过（－2,0)、(0,4)，则bbk420解得，k=2，b=4故解析为y=2x+4方法二：由点斜式得：)2(0041212xxyyk=2再一点式得：y=2(x+2)+0=2x+4方法三：由斜截式得，y=2x+4方法四：由数形结合得，y=2x+4(k=直角边的比）方法五：（纯一点式）y=k(x+2)=k(x+0)+4⇒k=24、一点式：例，过（2,5）的一次函数解析式为_____。解析：y=k(x－2)+5＝kx－2k+5例，若a,b为定值，关于x的方程2)6(32bkxakx,无论k为何值，解总是x=1,则2a+3b=_____。解析：化简得，（4x+b)k=12－2a+x⇒b=－4,2a=13⇒2a+3b=15、图象式：例，如图，则函数解析式为______.yx21O解析：方法一：易知，b=2（截距）,k=－2(两直角边的比）,则y=－2x+2方法二：两点式：（略）方法三：一点式：y=k(x－1)+0=k(x+0)+2⇒k=－26、平移式：例，直线y=kx+b与直线y=－2x平行，且截距为2,则直线解析式为____。解析：易知，k=－2,b=2,解析式为y=－2x+2技巧：上下平移：K值不变，上加下减；左右平移：K值不变，左加右减；如：y=kx+b向左平移m个单位，则平移后的解析式为____________.解：y=k(x+m)+b实质：上下平移横坐标不变；纵坐标上加下减。左右平移纵坐标不变；横坐标左减右加。例，将y=2x+3向下平移2个单位，则y=_______；再向左平移2个单位，则y=_____.解析：方法一：结论归纳法由上加下减得，y=2x+1;由左加右减得，y=2(x+2)+1=2x+5方法二：数形结合法（点值法）详细过程：（1）求出y=2x+1与x轴的交点坐标（21,0）;（2）求出平移后的点坐标（25,0）（3）求平移后的解析式y=2(x+25)+0（一点式）=2x+5。方法三：逆向思维法具体过程：设平移后的点坐标为P（x,y）由逆向思维得，原来该点的坐标为P'（x+2,y+2）在y=2x+3上，y+2=2(x+2)+3,y=2x+5[练习]1、将y=－2x－3向上平移2个单位，则y=_______；（y=－2x－1）再向右平移2个单位，则y=_______。(y=－2(x－2)－1=－2x+3)2、将y=－21x+1向下平移2个单位，则y=_____;再向左平移21个单位，则y=_______。7、斜截式例，将y=2x+b向左平移2个单位后，与y轴的交点坐标为（0，3），则b=___。解析：由题意知，平移后的解析为y=2(x+2)+b=2x+3⇒b=－1具体过程：（1）由平移得，y=2(x+2)+b（左加右减）；（2）由斜截式得，k=2,b=3,即y=2x+3（3）联立得，2(x+2)+b＝2x+3⇒b=－18、应用式：要点：k表示：速度、单位量、斜率、比值、每每、增量的比……b表示：起始位置例1，某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分）的函数关系式为______。解析：当t=0时，Q=20,即b=20;又流速为0.2升/分，即k=－0.2（放油）故解析式为Q=－0.2t+20（0≤t≤100）例2，已知A、B两地相距30km，B、C两地相距48km。某人骑自行车以每小时12km的速度从A地出发，经过B地到达C地。设此人骑车的时间为x（h），离B地的距离为y（km）。（1）当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。（2）当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。解析：（1）当x=0时，y=30,即b=30又速度为12km/h,则k=－12(y随x增大而减小）故解析式为：y=－12x+30（0≤x≤(5/2)）（2）由速度为12km/h，则k=12(y随x增大而增大）可令解析式为：y=12x+b又当x=25时，y=0,解得，b=－30故解析式为：y=12x－30方法二：（点斜式）y=12(x－25)=12x－30例3，在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体的质量x（kg）的一次函数，当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长10cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长为12cm。写出y与x之间的函数关系式______。解析：增加量为(12－10/3－1)=1，即k=1当x=0时，y=9，即b=9故解析式为y=x+9方法二：令解析式为y=kx+b，过点（1，10）（3，12）解二元一次方程组也可求出此解析式。9、面积式例，y=kx+b是由y=2x平移得到的，且与坐标轴围成的面积为4，求此函数的解析式_____.解析：如图，yxABOy=kx+b是由y=2x平移得到的k=2由图可知，A（－(b/2),0）,B(0,b)又S△AOB=4,即21AOBO=4,21|－2b||b|=4解得，b=±4故，解析式为y=2x+4或y=2x－4[巩固]y=kx+3的图象与坐标轴围成的面积为9，求此函数的解析式_____。解析：如图，yxABO由图可知，A（k3,0）,B(0,3)又S△AOB=9,即21AOBO=4,3|3|21k=9解得，k=±21故，解析式为y=21x+3或y=－21x+310、列表式：k：增量11、规律式：k：增量12、开放式：例，请写出一次函数的解析式。要求：（1）过（3,1）；（2）y随x增大而减小；（3）当x=2时，y2，则：_______解析：由过（3,1）知，可令y=k(x－3)+1=kx－3k+1又当x=2时，y2，得，－k+12,k－1又y随x增大而减小，得，k0所以，－1k0当k=－31时,y=－31x+213、值域式例，已知一次函数的自变量的取值范围是2≤x≤6,函数值的范围是5≤y≤9,求这个一次函数的解析式。解析：令一次函数的解析式为y=kx+b（1）当k0时，x=2,则y=5;x=6,则y=9.2k+b=56k+b=9解得，k=1,b=3故，解析式为y=x+3（2）当k0时，x=2，则y=9;x=6,则y=5.2k+b=96k+b=5解得，k=－1,b=11故，解析式为y=－x+1114、动点式（略）15、待定系数式（略）16、分类讨论式（略）17、成比例式例，y－1与x+3成正比例，当x=2时，y=6，求y关于x的函数解析式。解析：令y－1=k(x+3),得6－1=k(2+3),解得，k=1故，解析式为y=x+418、对称式：例：y=kx+b1）关于x轴对称：P（x,y）→P'(x,－y):－y=kx+b,即y=－kx－b（全变）；2）关于y轴对称：P（x,y）→P'(－x,y):y=－kx+b,即y=－kx－b（k变b不变）；3）关于原点对称：P（x,y）→P'(－x,－y):－y=－kx+b,即y=kx－b（b变k不变）；例，y=2x+1的图象(1)关于x轴对称的解析式为_____;(2)关于y轴对称的解析式为_____;(3)关于原点对称或关于某一点对称（了解）归纳：（1）对称|k|不变，|b|不变；（2）关于x轴对称：k、b都变号；关于y轴对称：k变号，b不变号。实质：（1）直线的对称其本质是点的对称。（2）再对称后的直线上任取一点P(x,y)则关于x轴对称P'(x,－y):－y=2x+1⇒y=－2x－1关于y轴对称P'(－x,y):y=－2x+1关于原点对称P'(－x,－y):－y=－2x+1⇒y=2x－119、垂直式例，y=2x+1与y=－21x+2在位置上的关系是_____.由此你得出的结论是＿＿＿＿。（21kk=－1)20、旋转式（关于某一直线对称）例，将直线y=2x+1关于y=x对称，求对称后的解析式______。总结:有关一次函数的解法：1、定义式；2、两点式；3、待定系数式；4、直线方程式；5、点斜式；6、一点式；7、斜截式；8、图象式；9、比例式；10、平移变换式；11、对称变换式；12、垂直变换式；14、旋转变换式；15、面积式；16、列表式；17、规律式；18、开放式；19、值域式；20、成比例式；21、分类讨论式；22、应用式；23、动点式。[练习]1、y与x成正比例，且当x=1时，y=2，那么当x=3时，y=___。2、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式_____（1）y随着x的增大而增大；（2）图象经过点（0，－3）。3、直线y=3x－3向左平移4个单位后，则直线解析式为___。4、某一次函数的图象与y=－x+1平行，且过点（8，2），则一次函数解析式为_____。5、一次函数y=kx+b的图象如图。（1）写出A、B的坐标；（2）求出k，b的值。yxA(2)B(4)O6、一次函数的图象过M（3，2），（－1，－6）两点，求函数的解析式。7、直线y=2x+1.（1）求直线与y轴交点A的坐标；（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k与b的值。8、已知直线y=kx+b经过点（25,0），且与坐标轴围成的三角形的面积为425，求该直线的表达式。