中考数学专题冲刺高分狙击专题分析解题方法知识结构典例精选能力评估检测专题三函数及其图象

专题三函数及其图象【专题分析】本专题在中考中的常考点有点的坐标的特征，对称变换和平移变换中坐标的特征；求函数自变量的取值范围，函数图象的信息；一次函数解析式的确定，一次函数的图象与性质，一次函数的应用；反比例函数的图象和性质，反比例函数中k的几何意义；确定抛物线的顶点坐标及对称轴，二次函数解析式的确定，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程、不等式的关系，二次函数的应用等．函数及其图象在中考中一般以客观题进行考查，根据函数的性质写出函数解析式一般以开放题形式进行考查；函数及其图象在中考中考查题型多样，对图象与性质的考查一般以选择题、填空题进行考查，函数的应用一般以解答题进行考查，特别是对二次函数的考查常以压轴题的形式出现；本专题在中考中所占比重约为18%～25%.【解题方法】解决函数及其图象问题常用的数学思想有数形结合思想，转化思想和分类讨论思想等；常用的方法有待定系数法，特殊值法，观察法，比较法，分析法和综合法等.【知识结构】【典例精选】：已知点P(a＋1,2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是(B)A.a－1B.－1a32C.－32a1D.a32【思路点拨】由题意得出点P所在的象限，然后根据每个象限内点的坐标特征，求出a的范围．规律方法：根据点所在的位置与平面内点的特征可得关于未知字母的不等式或不等式组，解不等式组即可得出参数的取值范围.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是()【思路点拨】先由二次函数的图象判断出a，b，c的符号，然后根据反比例函数图象与一次函数图象的特征得出答案．答案：C规律方法：解决此类问题，首先要根据已知函数的图象确定各系数的范围，然后根据相关系数的范围确定未知函数的图象所在的位置.如图，A、B是双曲线y＝kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为()A.43B.83C．3D．4【思路点拨】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合应用．过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即CD＝12BE，设Ax，kx，则B2x，k2x，故CD＝k4x，AD＝kx－k4x，再由△ADO的面积为1求出k的值即可得出结论．【解析】如图，过点B作BE⊥x轴于E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，即CD＝12BE.设Ax，kx，则B2x，k2x，CD＝k4x，AD＝kx－k4x.∵△ADO的面积为1，∴12AD·OC＝1，12kx－k4x·x＝1，解得k＝83，故选B.答案：B复习课中，教师给出关于x的函数y＝2kx2－(4k＋1)x－k＋1(k是实数)．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图象经过(1,0)点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数；若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．【思路点拨】本题考查一次函数、二次函数的图象及性质，注意举反例、综合配方、数形结合及分类讨论思想的应用．【自主解答】解：①正确．当x＝1时，y＝－3k，取k＝0，得y＝0，即存在函数y＝－x＋1，其图象经过(1,0)点．②错误．取k＝1，函数y＝2x2－5x的图象与坐标轴的交点仅有(0,0)和52，0两点．或取k＝0，函数y＝－x＋1的图象与坐标轴的交点仅有(0,1)和(1,0)两点．所以结论②错误．③错误．当k0时，抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝1＋14k.因为1＋14k1，所以当1x1＋14k时，y随x的增大而减小，当x1＋14k时，y随x的增大而增大．所以结论③错误．④正确．当k≠0时，函数有最大或最小值，此时y＝2kx－1＋14k2－3k＋18k.若k0，则抛物线开口向上，当x＝1＋14k时，y最小值＝－3k＋18k.因为－3k＋18k0，所以y最小值0.若k0，则抛物线开口向下，当x＝1＋14k时，y最大值＝－3k＋18k.因为－3k＋18k0，所以y最大值0.解题时用到的数学方法有分类讨论和数形结合．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－23x2＋bx＋c，经过A(0，－4)，B(x1,0)，C(x2,0)三点，且|x2－x1|＝5.(1)求b，c的值；(2)在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；(3)在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．【思路点拨】(1)把A(0，－4)代入可求c，运用两根关系及|x2－x1|＝5，对式子合理变形，求b；(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；(3)由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．【自主解答】解：(1)∵抛物线y＝－23x2＋bx＋c经过点A(0，－4)，∴c＝－4.又由题意可知，x1，x2是方程－23x2＋bx－4＝0的两个根，∴x1＋x2＝32b(b0)，x1x2＝6.由已知得(x2－x1)2＝25，又∵(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝94b2－24，∴94b2－24＝25，解得b＝－143.(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵y＝－23x2－143x－4＝－23x＋722＋256，∴抛物线的顶点－72，256即为所求的点D.(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为(－6,0)，根据菱形的性质，点P必是直线x＝－3与抛物线y＝－23x2－143x－4的交点，∴当x＝－3时，y＝－23×(－3)2－143×(－3)－4＝4.∴在抛物线上存在一点P(－3,4)，使得四边形BPOH为菱形．四边形BPOH不能成为正方形，∵如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是(－3,3)，但这一点不在抛物线上．规律方法：解决存在性问题的一般思路：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件和隐含条件进行计算、推理，再对所得出的结论进行分析检验，判断是否与题设、公理、定理等吻合；若无矛盾，说明假设正确；否则，说明不存在.【能力评估检测】一、选择题1．函数y＝5－x＋1x－3的自变量x的取值范围是(D)A．x≤5B．x≠3C．x≥5D．x≤5或x≠32．把抛物线y＝12x2－1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为(B)A．y＝12(x＋1)2－3B．y＝12(x－1)2－3C．y＝12(x＋1)2＋1D．y＝12(x－1)2＋13．设点A(x1，y1)和B(x2，y2)是反比例函数y＝kx图象上的两个点，当x1x20时，y1y2，则一次函数y＝－2x＋k的图象不经过的象限是(A)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/时，小汽车的速度为90千米/时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶时间t(小时)之间的函数图象是()【解析】由题意得出发前都距离乙地180千米，出发2小时小汽车到达乙地距离变为0，再经过2小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过3小时，货车到达乙地距离变为0，故C符合题意．故选C.答案:C5．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为()【解析】由一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象有两个交点，且都在第一象限，可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝x，即ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个不相等的正实数根，所以函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，故选项A符合题意．答案:A6．如图，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB＝y(单位：度)，那么y与点P运动的时间x(单位：秒)的关系图是()【解析】当点P由点O向点C运动时，∠APB的度数由90°匀速减小到45°；当点P在CD上运动时，∠APB的度数一直等于45°，保持不变；当点P由点D向点O运动时，∠APB的度数由45°匀速增大到90°.故选项B符合题意．答案:B7．将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有()A．6种B．5种C．4种D．3种【解析】如图，由题意画出函数图象，依次移动直线y＝x＋b，即可得直线与新图象交点个数的情况．故选B.答案:B8．如图，点A(a,1)，B(－1，b)都在双曲线y＝－3x(x0)上，点P，Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是()A．y＝xB．y＝x＋1C．y＝x＋2D．y＝x＋3【解析】分别把点A(a,1)，B(－1，b)代入双曲线y＝－3x(x＜0)，得a＝－3，b＝3，则点A的坐标为(－3,1)，点B的坐标为(－1,3)，如图，作点A关于x轴的对称点C，作点B关于y轴的对称点D，所以点C的坐标为(－3，－1)，点D的坐标为(1,3)．连结CD分别交x轴、y轴于点P，Q，此时四边形PABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，把C(－3，－1)，D(1,3)分别代入，得－3k＋b＝－1，k＋b＝3，解得k＝1，b＝2，所以直线CD的解析式为y＝x＋2.故选C.答案:C9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，记m＝|a－b＋c|＋|2a＋b＋c|，n＝|a＋b＋c|＋|2a－b－c|，则下列选项正确的是()A．mnB．mnC．m＝nD．m，n的大小关系不能确定【解析】由图象知，a0，b0，c＝0.当x＝1时，y0，即a＋b＋c0，∴a＋b0；当x＝2时，y0，即4a＋2b＋c0，∴2a＋b0；当x＝－1时，y0，即a－b＋c0，∴a－b0；当x＝－2时，y0，即4a－2b＋c0，∴2a－b0.∴m－n＝|a－b＋c|＋|2a＋b＋c|－|a＋b＋c|－|2a－b－c|＝|a－b|＋|2a＋b|－|a＋b|－|2a－b|＝－a＋b＋2a＋b－a－b＋2a－b＝2a0，∴mn，故A正确．答案:A10．方程x2＋3x－1＝0的根可视为函数y＝x＋3的图象与函数y＝1x的图象交点的横坐标，则方程x3＋2x－1＝0的实根x0所在的范围是()A．0x014B.14x013C.13x012D.12x01【解析】依题意得方程x3＋2x－1＝0的实根是函数y＝x2＋2与y＝1x的图象交点的横坐标，这两个函数的大致图象如图所示，它们的交点在第一象限，当x＝14时，y＝x2＋2＝2116，y＝1x＝4，此时抛物线的图象在反比例函数图象的下方；当x＝13时，y＝x2＋2＝219，y＝1x＝3，此时抛物线的图象在反比例函数图象的