2015年全国各地中考数学模拟试卷精选汇编操作探究

图1图2操作探究一.选择题1．（2015•山东滕州羊庄中学•4月模拟）如图1，⊙O的半径为1，点O到直线m的距离为2，点P是直线m上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是A．1B．3C．2D．5答案：B；二.填空题1．（2015•山东滕州东沙河中学•二模）如图2，以点P（2，0）为圆心，3为半径作圆，点M（a，b）是⊙P上的一点，则ab的最大值是____．答案：3；三.解答题1.（2015·江苏高邮·一模）（本题满分12分）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动：（1）如图1，若连接矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则Rt△ADC可由Rt△ABC经过旋转变换得到，这种旋转变换的旋转中心是点▲、旋转角度是▲°；（2）如图2，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折、展平．再沿折痕GC折叠，使点B落在EF上的点B′处，这样能得到∠B′GC．求∠B′GC的度数．（3）如图3，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI(如图4)．若BH＝BI，BC=a，则：①证明以BD、BF、BH为三边构成的新三角形的是直角三角形；②若这个新三角形面积小于5015，请求出a的最大整数值．解：（1）点O、180°……………………2分（2）连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，故BB'＝B'C，由翻折可得，ABCDO（图1）EFADBCB′G（图2）PBC（图3）BPCIEDGFHa（图4）ADB'C＝BC，∴△BB'C为等边三角形．∴∠B'CB＝60°，（或由三角函数FC：B'C＝1：2求出∠B'CB＝60°也可以．）∴∠B'CG＝30°，∴∠B'GC＝60°……………………4分（3）①分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，[来∵△ABC中，BA＝BC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，∴DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI．在Rt△AHN中，AH＝AI＝4a，AH2＝HN2＋AN2，HN2＝154a2，则DM2＝FQ2＝HN2＝154a2，AD2＝AM2＋DM2＝6a2，AF2＝AQ2＋FQ2＝10a2，新三角形三边长为4a、6a、10a．∵AH2＝AD2＋AF2∴新三角形为直角三角形．……………………4分（或通过转换得新三角形三边就是AD、DI、AI，即求△GAI的面积或利用△HAI与△HGI相似，求△HAI的面积也可以）②其面积为126a10a＝15a2．∵15a2＜5015∴a2＜50∴a的最大整数值为7．……………………2分2．（2015·江苏江阴·3月月考）提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线．．既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：图1ABCD图2ABCDABCIEDGFHaMQN（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，ADBC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm.请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．答案：解：（1）作线段AD（或BC）的中垂线即可.（2）小华不会成功．直线平分梯形ABCD面积，则21(AE+BF)AB=21(ED+CF)AB∴AE+BF=ED+CF，又∵AB＜CD，∴此时AE+BF+AB＜ED+CF+CD[来*源:中&国^教育出~版网@]∴小华不可能成功（3）可求得：S梯形ABCD=18，C梯形ABCD=18，由（2）可知直线分别交AD、BC于点E、F时不可能，只要分以下几种情况：①当直线分别交AD、AB于E、F时有S△AEF≤S△ABD，又∵S△ABD=6＜9，∴不可能同理，当直线分别交AD、CD于E、F时S△AEF≤S△ACD＜9,∴不可能②当直线分别交AB、BC于E、F时设BE=x，则BF=9−x由直线平分梯形面积得：12x(9−x)=9求得：x1=3，x2=6＞4（舍去）∴BE=3③当直线分别交CD、BC于E、F时设CE=x，可得：S△ECF=12×4x5×(9−x)=92x2－18x+45=0此方程无解，∴不可能④当直线分别交AB、CD于、E、F时设CF=x，可得：SBFEC=12×(3−x5)(6−3x5)+6x225=9∴x1=0，与②同x2=5，BF=−2，舍去综上所述，符合条件的直线共有一条3．（2015·江苏江阴要塞片·一模）对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧.（1）当r=42时，①在P1（0，－3），P2（4，6），P3（42，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是_______________；②若点P在直线2yx上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方.①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是_______________．答案：解（1）10×1.5+（18﹣10）×2=31，········2分（2）①当x≤10时，y=1.5x，········3分②当10＜x≤m时，y=10×1.5+（x﹣10）×2=2x﹣5，········4分③当x＞m时，y=10×1.5+（m﹣10）×2+（x﹣m）×3=3x﹣m﹣5，········5分（3）①当40≤m≤50时，此时选择第二种方案，费用=2×40﹣5=75，符合题意，········6分②当20≤m＜40时，此时选择第三种方案，费用=3x﹣m﹣5，则：70≤3x﹣m﹣5≤90，········7分∴25≤m≤45，········9分综合①、②可得m的取值范围为：25≤m≤50．········10分4（2015·福建漳州·一模）动手操作：用两种不同的方法，将下图中一个等腰三角形分割成四个等腰三角形.解：答案：解：[每画一个图正确得4分5（2015•山东滕州东沙河中学•二模）如图3，四边形ABCD为矩形，点E在边BC上，四边形AEDF为菱形．（1）求证：ΔABE≌ΔDCE；（2）试探究：当矩形ABCD长宽满足什么关系时，菱形AEDF为正方形?请说明理由答案：解：（1）略（2）AD=2AB．6.（2015•山东滕州羊庄中学•4月模拟）如图4-1，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，将正方形MNPQ绕点M顺时针旋转，在旋转过程中，射线MN与射线MQ分别交正方形ABCD的边于E、F两点。（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．（2）若将原题中的两个正方形都改为矩形且BC=6，AB=2，如图4-2，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系（第20题图1）（第20题图2）图5-1图5-2答案：（1）证明：过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H∴∠MGE=∠MHF=90°．∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH．又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中∠1=∠2，MG=MH，∠MGE=∠MHF．∴△MGE≌△MHF．∴ME=MF．－－（5分）（2）解：①当射线MN交BC于点E，射线MQ交CD于点F时．过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．∴∠MGE=∠MHF=90°．∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中，∠1=∠2，∠MGE=∠MHF，∴△MGE∽△MHF．∴MHMGMFME，∵M为矩形对角线AB、AC的交点，∴MB=MD=MC，又∵MG⊥BC，MH⊥CD，∴点G、H分别是BC、DC的中点．∵BC=6，AB=2，∴MG＝1，MH＝3．图4-1图4-2图5-3图5-4图5-5ME3MF,31MHMGMFME（2分）②当射线MN交AB于点E，射线MQ交BC于点F时．过点M作MG⊥AB于点G，MH⊥BC于点H．∴∠MGE=∠MHF=90°．∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中，∠1=∠2，∠MGE=∠MHF．∴△MGE∽△MHF．∴MEMGMFMH,∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴MB=MA=MC．又∵MG⊥AB，MH⊥BC，∴点G、H分别是AB、BC的中点．∵BC=6，AB=2MF3ME,13MHMGMFME，（4分）③当射线MN交BC于点E，射线MQ交BC于点F时．由△MEH∽△FMH，得1MHFHEH2由△MEH∽△FEM，得FEEHME2△FMH∽△FEM．FEFHMF21FHEH1EFFHEHEFEFFHEHEHFHEFFH1EFEH1MF1ME122（6分）④当射线MN交BC边于E点，射线MQ交AD于点F时．延长FM交BC于点G．易证△MFD≌△MGB．∴MF=MG．同理由③得22111MGME22111MFME（7分）综上所述：ME与MF的数量关系是2211331MEMFMFMEMFME或或7.（2015•山东潍坊广文中学、文华国际学校•一模）如图6，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．图6图7（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）求证：AP+HC=PH；（3）当AP=1时，求PH的长．答案：（1）证明：∵PE=BE，∴∠EPB=∠EBP，又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠BPH=∠PBC．又∵四边形ABCD为正方形∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．----------------------4分（2）证明：如图7，过B作BQ⊥PH，垂足为Q，由（1）知，∠APB=∠BPH，在△ABP与△QBP中，90ABQPAPBBPHBPBP，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，BA=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，∴△BCH和△BQH是直角三角形，在Rt△BCH与Rt△BQH中，BCBQBHBH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH=QH，∴AP+HC=PH．---------------------------8分（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，∴PD=3．设QH=HC=x，则DH=4-x．在Rt△PDH中，PD2+DH2=PH2，即32+（4-x）2=（x+1）2，解得x=2.4，∴PH=3.4．---------------------------12分8.（2015·江西赣三中·2014—2015学年第二学期中考模拟）已知，点P