2013年上海数学高考真题理

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．计算：20lim______313nnn2．设mR，222(1)mmmi是纯虚数，其中i是虚数单位，则________m3．若2211xxxyyy，则______xy4．已知ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若232aab22330bc，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数aR，若52axx的二项展开式中7x项的系数为10，则______a6．方程1313313xx的实数解为________7．在极坐标系中，曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为__________8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且4CBA，若4AB，2BC，则的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d是等差数列12319,,,,xxxx的公差，随机变量等可能地取值12319,,,,xxxx，则方差_______D11．若12coscossinsin,sin2sin223xyxyxy，则sin()________xy12．设a为实常数，()yfx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()97afxxx，若()1fxa对一切0x成立，则a的取值范围为________13．在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y和1y围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体2013年上海数学高考真题（理）为，过(0,)(||1)yy作的水平截面，所得截面面积为2418y，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________14．对区间I上有定义的函数()gx，记(){|(),}gIyygxxI，已知定义域为[0,3]的函数()yfx有反函数1()yfx，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)ff，若方程()0fxx有解0x，则0_____x二、选择题（本大题共4小题，满分20分）15．设常数aR，集合{|(1)()0},{|1}AxxxaBxxa，若ABR，则a的取值范围为（）A．(,2)B．(,2]C．(2,)D．[2,)16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件17．在数列{}na中，21nna，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,·ijijijaaaaa，（i=1,2,,7；j1,2,,12）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A．18B．28C．48D．6318．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,aaaaa；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,ddddd.若,mM分别为()()ijkrstaaaddd的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}ijk,{,,}{1,2,3,4,5}rst,则,mM满足（）.A．0,0mMB．0,0mMC．0,0mMD．0,0mM三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）19．如图，在长方体1111ABCDABCD中，2,1ABAD,11AA，证明直线1BC平行于平面1DAC，并求直线1BC到平面1DAC的距离.20．甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x），每小时可获得利润是3100(51)xx元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.21．已知函数()2sin()fxx，其中常数0；（1）若()yfx在2,43上单调递增，求的取值范围；（2）令2，将函数()yfx的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()ygx的图像，区间[,]ab（,abR且ab）满足：()ygx在[,]ab上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]ab中，求ba的最小值．22．如图，已知曲线221:12xCy，曲线2:||||1Cyx，P是平面上一点，若存在过点P的直线与12,CC都有公共点，则称P为“12CC型点”．(1)在正确证明1C的左焦点是“12CC型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线ykx与2C有公共点，求证||1k，进而证明原点不是“12CC型点”；(3)求证：圆2212xy内的点都不是“12CC型点”．23．给定常数0c，定义函数()2|4|||fxxcxc，数列123,,,aaa满足*1(),nnafanN.（1）若12ac，求2a及3a；（2）求证：对任意*1,nnnNaac，；（3）是否存在1a，使得12,,,naaa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a，若不存在，说明理由.参考答案1、132、-23、04、1arccos35、-26、3log47、1528、13189、46310、230d11、2312、87a13、221614、215、B16、B17、A18、D19、证明略,距离为2320、（1）310x（2）6x时，max457500y元21、（1）304（2）43322、（1）证明略，直线可以为3x（2）证明略（3）证明略23、（1）22a，310ac（2）证明略（3）存在，1a的取值范围是[,){8}cc