机械系统非线性振动及其控制课后作业

第一章在图示多级齿轮传动中，齿轮和轴的编号如图所示。电动机、齿轮和负载的转动惯量如图所示，不计轴的转动惯量。建立该齿轮传动系统纯扭振动方程。（设各轴扭转刚度为Ksi，齿轮副啮合刚度为Kii+1，各齿轮基圆半径为rbi。）解：设电动机的输出转矩为T,扭转角度为θ;负载的输出转矩为T，扭转角度为θ。建立系统的纯扭振动方程Jθ̈+𝐾(θ−θ)=TJθ̈+𝐾(θ−θ)+𝐾r(rθ−rθ)=0Jθ̈+𝐾(θ−θ)+𝐾r(rθ−rθ)=0Jθ̈+𝐾(θ−θ)+𝐾r(rθ−rθ)=0……Jθ̈+𝐾(θ−θ)+𝐾()()r(rθ−rθ)=0Jθ̈+𝐾(θ−θ)+𝐾()()r(rθ−rθ)=0Jθ̈+𝐾（θ−θ）=T其矩阵形式如下：112233212122mmNNNNllJJJJJJJ112111211212212122122222234334342(21)2(21)(21)2(21)22(21)2(21)2(1)(21)22(1)(1)(1ssssbbbbbsbsssbbbsNsNNNbNNNbNbNNNbNbNsNNNbNsNsNsNkkkkkrkrrkrrkkrkkkkrkrrkkkrkrrkrrkkrkkk)1232120mNNl第二章1.用加速度计测得一弹簧质量系统在简谐振动时某点最大加速度为5g（=0）。已知系统的固有频率为25Hz。试求此系统的振幅和最大速度是多少?解：由简谐振动的性质可知，̈=−。频率==0r振幅=̈=00m最大速度̇==02.一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如下图所示。试列出其振动微分方程，并求出其固有频率。解：已知振动物体的质量为m，弹簧常数为k，取图中x方向为正方向，其静平衡位置为原点。静平衡时：inα=kδ𝑠。在其他任意时刻，对物体m在x位置时受力分析，根据牛顿第二定律可列方程：̈=inα−kδ𝑠−k因为inα=kδ𝑠，则：̈+k=0设其固有频率为，有：̈+=0固有频率=√=√𝑠3.图示一刚性直杆，长为l，杆的一端铰支，另一端由一刚度为k的弹簧支承。在离铰支端为a处有一集中质量m，如忽略刚性杆的质量，试求这个系统的固有频率。解：以转角θ为广义坐标，取平衡位置为原点。由牛顿第二定律得：(θ̈)=−k(θ)变换得：θ̈+kθ=0系统的固有频率=√5.试求上图所示弹簧质量系统在力作用下的瞬态响应。系统初始时静止。解：以平衡位置为零点，设t=0时小车位于零点右侧0x处。由牛顿第二定律得：mxFkx即mxkxF此方程为二阶非齐次常系数微分方程，通解为：12()cossinnnFxtAtAtk由初始条件0(0),(0)0xxx得：1020nFAxkA解得：102-0FAxkA且nkm所以：0()-cosFkFxtxtkmk第三章1.如下图所示，一根两端固定的轴上装有两个飞轮，各部分尺寸如图所示(单位为mm)，飞轮材料之比重为=0.077(N/cm3)，轴的剪切弹性模量427.810/GNmm,试求系统的扭转固有频率。解：这是一个两自由度扭转振动系统。取两飞轮偏离平衡位置的角位移为和。各轴段扭转刚度分别为，对两盘受力分析，列出振动方程1111221()IKK2222132()IKK整理得1112122()0IKKK2221232()0IKKK令飞轮1I和2I以同频率同相位做简谐振动，即11sin()At22sin()At带入化简并整理成矩阵形式21121222223200AKKIKAKKKI行列式为0得频率方程24222230IKIK12npGJKIIl2233npGJKIIl得11.5404/s，22.6681/s。3.如图所示，已知123kkkk，123mmmm，123sinPPPPt，1.25km，各阶振型阻尼比为1230.01，求各质量的稳态响应。解：①建立系统的运动方程()mxCxKxPt其中000000mmmm，12222333300CCCCCCCCCC122223333020200KKKKKKKKKKKKKKKKK()sinQPtQtQ，1.25/Km②求系统无阻尼时固有频率n、主阵型A和振型矩阵P特征方程为22222020KmKBKmKKmKKKm展开后，整理得2332222560KKKmmm解得特征值为210.198/nKm，221.555/nKm，233.247/nKm，10.445/nKm，21.247/nKm，31.802/nKm求得主阵型为(1)1.0001.8022.247A,(2)1.0000.4450.802A,(3)1.0001.2470.555A系统振型矩阵为1.0001.0001.0001.8020.4451.2472.2470.8020.555P③计算正则因子和正则矩阵N由TPmP,得：10.328/m，20.737/m，30.591/m0.3280.7370.59110.5910.3280.7370.7370.5910.328Nm④计算正则力、放大因子Z、相位角及正则解1230.3280.7370.59110.5910.3280.737sin0.7370.5910.328QQQQQtmQQ11.656sinQQtm，20.474sinQQtm，30.182sinQQtm放大因子2221/12iiiiZ10.1451Z，248.50Z，31.9266Z相位角：22arctan()1iii117931'59''3.1334rad210330'28''1.8605rad3131'54''0.0267rad正则响应：30.1080/sin(1.25/0.0267)QmKKmt11.2136/sin(1.25/3.1334)QmKKmt214.784/sin(1.25/1.8065)QmKKmt30.1080/sin(1.25/0.0267)QmKKmt⑤求原几何坐标表示的稳态响应1231.2136/sin(1.25/3.1334)0.3280.7370.59110.5910.3280.73714.784/sin(1.25/1.8065)0.7370.5910.3280.1080/sin(1.25/0.0267)QmKKmtxQmxQmKKmtKmxQmKKmt5.如下图所示，双质量弹簧系统在1m上作用一谐波激励1Fsint。已知，1mm，22mm，12kkk，32kk，试用解耦分析法求系统的响应。解：①由牛顿第二定律建立运动方程：1111212122322122()(t)()(t)mxkxkxxfmxkxkxxf整理写成矩阵形式：[M][x][][x][F(t)]K其中质量矩阵002mMm刚度矩阵23kkKkk②求固有频率和振型：由频率方程20202032kmkkkm计算得120km22052km1211A③模态矢量正规化：由(r)(r)()TrMAMA可得：(1)(1)1()3TMAMAm(2)(2)2()6TMAMAm令(r)(r)A/NrAM得(1)(1)11A/113TNAMm(2)(2)21A/216TNAMm令xUy,则原方程[M][x][][x][F(t)]K变为112[M][][][][F(t)]yKy其中1TMUMUI1220120005002TkmKUKUkm12sin2(t)(t)62TFtFUFm运动方程变为111122sin32sin526FtkyymmFtkyymm由初始条件1122(0)0(0)0(0)0(0)0xxxx得1122(0)0(0)0(0)0(0)0yyyy解得：1123msinFytkm12226msin52Fytkm由xUy得系统的响应：121122220012()sin3Fxtm121222220011()sin3Fxtm其中120km22052km第四章1、如图11.31所示，两个弹簧分别放置在质量块m的两侧，弹簧的刚度分别是K1、K2，且K2K1。当质量块放置在平衡位置时，两个弹簧都不和它接触。但当质量块偏离平衡位置时，只有一根弹簧被压缩。如果t=0时，质量块的初始速度为̇，求弹簧的最大变形和质量块的振动周期。解：由题可知，系统的初始条件00x，0x0x设质量块所受力为tp，则在质量块运动的过程中微分方程0tpxm其中0xxk0xxktp12根据系统的分段线性特点，其运动在0x和0x分别有解析解，每段解在切换条件0x处的速度是下一段解的初始条件，从而可逐段衔接求解。a.根据给定的系统初始状态，质量块运动应满足：02x0x00x0xkxm这一线性系统的自由振动解为2-tmkcosxkmx202则运动到最右侧弹簧的压缩量为最大振幅021xkmx其运动到最右侧时位移最大，满足12-tmkcos2，则21km2tb.接着质量块从最右端运动到平衡位置，运动规律遵循以上方程，在此平衡位置，质量块向左运动，和弹簧1k接触，假设该时刻为0t，质量块的运动应满足01x0x00x0xkxm这一线性系统的自由振动解为2-tmkcosxkm-x101则运动到最左侧弹簧的压缩量为最大振幅012xkmx其运动到最左侧时位移最大，满足12-tmkcos1，则12km2t接着质量块从最左侧运动到平衡位置，完成一个周期1221kmkmt2t2T2、求图11.32中质量块的运动微分方程，画出弹簧力随x的变化曲线。两个质量块1m和2m固定在一段张紧的绳子上，如图11.33所示。如果绳子的初始张力为P，推导质量块沿横向作大幅运动时的运动微分方程。解：（1）求弹簧力曲线以平衡位置为零点，弹簧力向左为正，位移向右为正。当0(,)xx时，00(())23Fkxxkxkxkx当00(,)xxx时，2Fkx当0(,)xx时，00()23Fkxxkxkxkx