多分辨率分析与正交小波变换详解

多分辨率分析与正交离散小波变换北京科技大学阳建宏2021/1/13北京科技大学机械工程学院2/73连续小波与离散小波多分辨率分析与离散正交小波主要内容北京科技大学机械工程学院3/71连续小波变换(CWT)：尺度a及时间τ的取值连续变化计算量很大02345671ln2jsTk123•不丢失原信号的信息•减小计算量•对尺度因子和平移因子进行适当的离散连续的时间-位移相平面变成离散的点连续小波变换的不足dtattfaaWT)()(1),(北京科技大学机械工程学院4/73小波母函数光滑性好对称性好紧支性好连续小波离散小波二进小波只对尺度离散位移仍然连续尺度和位移都离散非正交离散小波正交离散小波小波基函数非正交小波基函数正交离散小波变换计算量相对非正交小波更小小波变换系数无冗余北京科技大学机械工程学院5/73框架设H为希尔伯特空间，为H中的一个函数序列，若对于任意，存在，使得下述不等式成立：则称为一个框架，A、B分别为框架的上下界紧框架若，则称此框架为一紧框架，若，并且，则此时构成一组正交基}{jHfBA0222,fBffAj}{jBA22,fAfj1BAj1j框架与信号的分解、重构密切相关可以简单理解为：一组基，正交的或非正交的120°120°紧框架非正交BA紧框架正交1BA小波的数学基础---框架北京科技大学机械工程学院6/73将“框架”具体应用到小波领域构成“小波框架”基本小波经伸缩和平移引出的函数族，满足，则称为小波框架}{j222,fBffAj}{j小波进行重构的基本条件小波的数学基础---框架北京科技大学机械工程学院7/73离散小波变换的逆变换连续小波变换的逆变换不是所有的小波基函数经任意的离散方式后都能保证可以由小波变换系数重构回原函数逆变换的条件222,,,,,mnmnAffBfABR当小波基函数满足此不等式时，小波系数可重构回原函数，此时称为小波框架,mndataaWTadaCtxR)(1),(1)(02只要满足“可容许条件”，即可进行逆变换满足了框架条件必然满足了可容许条件Rd)(信号的重构---如何进行离散小波逆变换？北京科技大学机械工程学院8/73若离散小波序列构成一个框架，其上、下界分别为A和B，则当A=B时(紧框架)，由框架概念可知离散小波变换的逆变换为当A≠B，而A、B比较接近时，重建公式近似为,,{()}mnmnZt,,,,,1(),()(,)()mnmnfmnmnmnftftWTmntA,,,,,2(),()(,)()mnmnfmnmnmnftftWTmntABA与B愈接近，重建误差就愈小信号的重构---如何进行离散小波逆变换？北京科技大学机械工程学院9/71用基底表示函数的展开回顾三维矢量空间R3中，任何一个非零矢量M可表示为将此概念推广到泛函分析中H(),()HnnnnnnexgxHgxaeae设为中的线性无关的函数序列，若有且系数是唯一的，则称为空间的一个基[,,]iMxyzjk框架、Riesz基、正交基北京科技大学机械工程学院10/71如果基底满足此时基底为标准（规范）正交基，此时有：这时才有Parseval等式()nnngxae0,(),()1,nmmnexexmn()(),()()nnngxgxexex22()(),()nngxgxex()gx1a2a22()(),()(),()(),()(),(),(),()(),()nnnnnnnngxgxgxgxexexgxgxexexgxgxex不为正交基，不相等，其它关系？框架、Riesz基、正交基北京科技大学机械工程学院11/71框架、紧框架A、B为正常数，称为H中的一个框架若A=B，称为紧框架，此时，转换前后能量固定为一放大倍数若A=B=1，则为正交基，即为Parseval等式无冗余框架H中的框架，如果去掉其中任一元素不再构成框架，则为无冗余框架，即为Riesz基正交基虽然优越，但有时难以得到，且对误差敏感，现实中常用Riesz基，例如二维平面中任意不平行的二个向量构成Riesz基，垂直则为正交基222()(),()()nngxgxexBgx若Anex222()(),()()nngxgxexBgxA框架、Riesz基、正交基北京科技大学机械工程学院12/73定义令H是Hilbert空间，H中的一个序列{gj}jZ是Riesz基，如果它满足以下的条件：jjjjjjjZjjnnjjjZjjjcBgccAlcBAtgctflcHfHZjtgspan22222,,0)2)()(,,0,,|)()1有使得存在常数使得总存在即规范正交基是A=B=1的Riesz基对于Riesz基，计算是数值稳定的Riesz基是仅次于一个正交基的最好的基Riesz基北京科技大学机械工程学院13/71框架、Riesz基、正交基三者的关系H空间框架Riesz基正交基框架、Riesz基、正交基北京科技大学机械工程学院14/71需要说明的几个问题1、2、n维欧氏空间中任何n个线性无关的向量都可以成为一组基，也可转化为标准正交基3、在H中，Riesz基就相当于基4、无冗余的紧框架一定为正交基(),()()(),()()nnnnnnnnnnexgxHgxaeaexexgxgxexex当为框架时，对可表示为：但系数是不唯一的为基时,系数唯一为正交基时，才可以表示为不为框架不能表示，如平面中的一个向量不是框架框架、Riesz基、正交基北京科技大学机械工程学院15/71小波框架小波母函数，经过平移和伸缩后构成一系列小波函数，实际中都要将平移和伸缩因子离散化。显然，当离散相差很近时，分解存在极大冗余（但带来的好处是显微镜特点和相似性检测能力），此时就不再属于传统的正交分解，而涉及到框架。定量描述上述冗余性和相关性——再生核（重建核）1122*1122,,1(,,,)()()()aaRKaattdtC小波分析中的框架北京科技大学机械工程学院16/71小波变换前后能量变化（稳定性）尺度和位移离散化后，若使则此时构成小波框架，这是稳定性前提。若前后能量相等，即A=B=1,则为标准离散正交小波基A、B相差很大，则为非紧框架，反变换不能直接应用A、B比较接近，则为几乎紧框架，实际中常用222,()(),()aagxgxBgxA123,,eee120°120°平面空间中的三个互成120度的基构成二维空间中的紧框架证明小波分析中的框架北京科技大学机械工程学院17/71对平面中的任意向量都有：即A=B=3/2,xylee,xylee120°120°xy22321223131,22223232kyxyxykxylellllllll2==小波分析中的框架北京科技大学机械工程学院18/73多分辨率分析方法(MRA)可以构造出正交的小波母函数在MRA出现之前人们已经构造出了几种正交小波CWTDWT,1()()attaa2,()2(2)mmmnttn尺度位移离散化冗余ψm,n构成一个框架ψm,n构成一个正交基non-orthogonalDWTorthogonalDWT冗余无冗余小波变换北京科技大学机械工程学院19/73Haar小波构成了L2(R)上的完备正交基时域上不连续频域上局部性差常应用于理论研究中others01t1/21,-1/2t01,(t),Haar小波北京科技大学机械工程学院20/73Littlewood小波构成了L2(R)上的完备正交基时域上局部性差频域上局部性好pi2pi1ttt/)sin2(sin(t)Littlewood-Paley北京科技大学机械工程学院21/73能否构造一个时、频域都具有好的局部性的小波基？Meyer小波Meyer小波北京科技大学机械工程学院22/73在多分辨率理论出现以前，还构造出了其他的正交小波Strombery小波Battle-Lemarie小波1986年秋，Mallat和Meyer提出了MRA框架统一了在此之前的小波构造提供了构造新的小波基方便的工具Battle-Lemarie其他正交小波北京科技大学机械工程学院23/73连续小波离散小波的关键问题：离散的方式尺度因子、平移因子离散后构成框架、Reisz基或正交基信号的重构母小波的构造小结北京科技大学机械工程学院24/73连续小波与离散小波多分辨率分析与离散正交小波主要内容北京科技大学机械工程学院25/73北京科技大学机械工程学院26/73把尺度理解为照相机的镜头，当尺度由小到大变化时，相当于将镜头由近及远地远离目标。在小尺度空间里，可观测到目标的细微部分；在大尺度空间里，可观测到目标大致的概貌。北京科技大学机械工程学院27/73多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子空间一致单调性渐近完全性伸缩规则性平移不变性正交基存在性ψV0使得{ψ(tn):nZ}是V0的正交基。{},jVjZ101VVVVV2()densejjVLR{0}jjV0fV0(),nftnVZ对所有nfV0(2)nftV可放宽为Reisz基，因为由Reisz基可构造出一组正交基来多分辨率分析的定义北京科技大学机械工程学院28/73V3V2V1V0V1V2V3101VVVVV一致单调性北京科技大学机械工程学院29/732()RL1jVjV1jV021010VVVLRjV1jV2jV不同尺度的分辨率北京科技大学机械工程学院30/73110():(2)VfxfxV10():(2)VfxfxV{0}denseinL2(R)101VVVVVnfV0(2)nftV0fV(2)nnftV渐进完全性与伸缩规则性20():||()kkkkxkVfxccΨ(x-k)北京科技大学机械工程学院31/73如果{g(t-k)}kZ是V0的Riesz基，可通过正交化得到V0空间的函数(t)V0，使得{(t-k)}kZ构成V0空间的规范正交基。由伸缩性和平移不变性可知，{j,k(t)}j,kZ构成Vj空间的一个规范正交基多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下张成的，也即一个多分辨率分析{Vj}jZ对应一个尺度函数由于空间{Vj}jZ相互包含，不具有正交性，因此他们的基在不同尺度间不具有正交性，也即{j,k(t)}j,kZ不能作为L2(R)空间的正交基尺度函数尺度函数RtZkjkttjjkj，，,)2(2)(2,北京科技大学机械工程学院32/73为了寻找一组L2(R)空间的正交基，我们定义{Vj}jZ的补空间如下：jjjWVV1jjVW1V小波空间北京科技大学机械工程学院33/73V2101VVVVV010VWV00VWV1V0121VWV11VW1jjjVVW001VWW小波空间北京科技大学机械工程学院34/73称为小波空间。列，是相互正交的子空间序故，所以，而由于显然Zjjjjjjjjjlljj1112lim)(ljljjjjjjjjjjjjjjWV