第11讲-二自由度系统受迫振动及吸振

1二自由度系统受迫振动二自由度系统受迫振动周永清周永清机械设计教研室机械设计教研室办公室：育贤楼办公室：育贤楼C406C406多自由度系统强迫振动\吸振2••无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动••无阻尼吸振器无阻尼吸振器••有阻尼吸振器有阻尼吸振器教学内容教学内容多自由度系统强迫振动\吸振1m1m无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动1112122122212322m()sinm()sinxkkxkxQtxkxkkxQt（1）多自由度系统强迫振动\吸振1112122122212322m()sinm()sinxkkxkxQtxkxkkxQt1112122122223111222,,,KkkKKkKkkMmMm令：则微分方程式可写成11111112212222112222sinsinMxKxKxQtMxKxKxQt（1）（2）多自由度系统强迫振动\吸振•方程（2）是二阶线性常系数非齐次微分方程组，它的解应由齐次方程组的通解（自由振动）与非齐次方程组的特解（受迫振动）叠加而成。其中非齐次方程的特解为稳定阶段的等幅振动，系统按与激振力相同的频率，作受迫振动。设其特解为1122sinsinxBtxBt（3）11111112212222112222sinsinMxKxKxQtMxKxKxQt（2）多自由度系统强迫振动\吸振211222sinsinxBtxBt对（3）式求二次导数，即得加速度（4）将（3）、（4）代入微分方程，经化简可得21111112212211222222()()KMBKBQKBKMBQ（5）2多自由度系统强迫振动\吸振1B2B11222222221222221212222111122221211111222122222111112212211111212222211112222121111122212222()()()()()()QKQKMQKMQKBKMKMKKMKKKMKMQKQQKMQKBKMKMKKMKKKM联立方程组可求得和的表达式（6）多自由度系统强迫振动\吸振通解齐次线性方程组通解非齐次线性方程组特解11111122212211122222sin()sin()sinsin()sin()sinnnnnxAtAtBtxAtAtBt则二自由度无阻尼受迫振动的解为（7）n1n2n1n2由上式看出，无阻尼受迫振动系统包括有三个振动频率，和的简谐振动，前两种振动的频率，是由振动系统的基本要素（质量和弹簧刚度）决定的它的振幅取决于初始条件，后一种简谐振动频率即受迫振动频率，它的振幅与激振力及系统参数有关，这三种简谐振动组成了一个复合振动。多自由度系统强迫振动\吸振221,242nbbaca2112211222211112212,(),aMMbMKMKcKKK2212,nn已知二自由度固有频率为其中将固有频率代入（6）中化简得21222221212222112212()()()nnQKMQKBMM22111112122222112212()()()nnQKMQKBMM（8）多自由度系统强迫振动\吸振1Q2Q1n上述结果表明，系统做与激振力同频率的简谐振动，其振幅不仅决定于激振力的幅值2n和还与系统的固有频率和激振频率有很大的关系。当激振频率等于或，系统的振幅无限增大，即为共振。二自由度系统的受迫振动有两个共振频率。两振幅的振幅比为21122222122221111121()()BQKMQKBQKMQK（9）多自由度系统强迫振动\吸振2111121121211122212nnkmAkAkkm2112122122212122222nnkmAkAkkm12,nn已知二自由度自由振动系统振幅比为分别令（8）中分子分母同时除以12K可得共振时的振幅比121221iiiQQBQBQ（10）(9)式说明系统在任何一个共振频率下的振型就是相应的主振型，在实际中经常用共振法测定系统的固有频率，就是利用这个规律。多自由度系统强迫振动\吸振根据上式可作出该系统的幅频曲线如图所示22n11212n1221222n2122121,,,2,,(5)nBBBBBBBBBB（）＜均为正值，质体1和质体2作同向振动，随增大而增大。（）＞，＜，均为负值。（3）＞，＜，变为正值，变为负值，此时质体1与质体2作异向振动。（4)＞变为负值，变为正值，质体1与质体2仍作异向振动。=是第一主振型与第二主振型的分界线3多自由度系统强迫振动\吸振121232a,2,2,0.(1)2mmmmkkkkQ例1图所示的系统中，已知，k试求系统的响应；（）计算共振时的振幅比；（3）做振幅频率响应曲线。11122122221122122,,35,2,,2nnKkKKkKkkkMmMmmm解：（1）由已知将其代入到（6）中可得:221112222211222222(32)(32)(2)(32)()(52)(2)(32)()(52)kmQkmQBkmkmkkmkmkQkQBkmkmkkmkm多自由度系统强迫振动\吸振211221222(32)sin()(52)sin()(52)kmQxtkmkmkQxtkmkm故系统受迫振动响应为（2）按式（9）可得21232BkmBk多自由度系统强迫振动\吸振2211122212221;522nnBkmBBkmB时，时，当将振幅改写成211122121222123()2251()1()151()1()nnnnnQBkQBk多自由度系统强迫振动\吸振12n1BB以为横坐标，与为纵坐标，画出该系统的振幅频率响应曲线如图多自由度系统强迫振动\吸振n11,2n1n11,212n2n2n2BB3BB23B0B2326kmkmkm（1）0＜＜时，逐渐增大且均为正值；（2）时，产生同向共振，振幅同时达到最大值；（3）＜＜时，振动方向相同且均为负值；（4）=时，，为负值，此现象通常称为返共振，为第一振型与第二振型的分界线；（5）＜＜，振动方向相反且均逐渐增大；（），产生反向共振，振幅达到最大值；（7）远大于时1,2BB0，均非常小趋于。多自由度系统强迫振动\吸振4多自由度系统强迫振动\吸振19在工程中有许多机体或杆件由于在某激振力的作用下会产生振动。目前已经采用各种行之有效的消振和减振的方法。从这些方法中可以看出其基本方向是：1，设法使激振力得到平衡，采取措施以削除或减小激振力的波动幅度；2，改变系统的自振频率与激振力频率的比值，即转移系统的共振区或使它在非共振区内运转；3，增加阻尼力以减小共振时的振幅，经验和理论都证明，适当地选择阻尼可以限制共振时的振幅在零件所允许的强度范围以内；4，在分析现有的减振技术中发现新技术和发展新理论。多自由度系统强迫振动\吸振20转速固定的电机激励无阻尼吸振器原理多自由度系统强迫振动\吸振无阻尼动力吸振器2100mmM22221kkkkkK稳态响应22122222111122221kmkmkFmkX2222221211222kmkmkkFmk212212214211222kkkkmkmmmFmk多自由度系统强迫振动\吸振221222221111212kmkmkFkX22222212112kmkmkkFk2122122142112kkkkmkmmmFk当时，，22mkA01X21222222122221222221122kkmkkmmkkmmkkmmkmmFkX21kF多自由度系统强迫振动\吸振这时传给的力为2k1m1212122FkFkxxkF作用于上的激励力与由弹簧传给的力恰好抵消，因而。1m2k1m01X11mk1122kmmk12mm设212212214212121222121111kkkkmkmmmkmmmkkmmkFX2122122142121212121112kkkkmkmmmkmmkkmmkFX211kF2211kF多自由度系统强迫振动\吸振222241111kFX112kFX设：，，令可得到，（二自由度的固有频率）。12.0012012.2245582575.16417424.0242.22.2228010882.012483018.125多自由度系统强迫振动\吸振无阻尼动力吸振器无量纲响应随无量纲频率变化的曲线曲线μ1-η和曲线μ2-η当η=1，即ω=ω1=ω2时才能使μ1=0，从而X2=0。当η稍偏离1.0，|X1|就很快增，因而当动力吸振器设计好后，只要激励频率略有偏离，原系统的响应就会增加。因此，只有当单自由度系统受单一频率激励力作用时，才能设计一个无阻尼动力吸振器来抑制系统的响应。多自由度系统强迫振动\吸振26由图（c）还可以看到多自由度系统强迫振动\吸振由式作出新共振点与原共振点的频率比多自由度系统强迫振动\吸振28所以，必须保持一定的质量比，即消振器的质量不能过小，才不致发生新的共振。由以上分析可见，使用无阻尼动力消振器时要特别慎重，应用不当会带来新的问题。所以，这种消振器只用于激振频率变化不大及消振器质量不能过小的情况。多自由度系统强迫振动\吸振29例：多自由度系统强迫振动\吸振6多自由度系统强迫振动\吸振11．无阻尼动力吸振器的设计比较简单，主．无阻尼动力吸振器的设计比较简单，主要步骤如下：要步骤如下：•（1）通过计算或测试，确定激振频率ω，并估算激振力幅值大小；•（2）确定吸振器弹簧刚度k，使得吸振器振幅为空间许可的合理值，并且弹簧能够经受这一振幅下的疲劳应力；•（3）选择吸振器质量，满足，且。选择一定质量比的原因是为了使主振系能够安全工作，在两个新的固有频率之间应有一定的间隔频带；•（4）检验。将设计生产好的吸振器安装到主振系上，让主振系工作，检查吸振器的效果，如有问题就应修改设计。多自由度系统强迫振动\吸振32小结：如上述所介绍设计的消振器，主要用于共振或接近共振状态工作的机器（主质量），而且要求机器有一固定的转速（即扰力的频率不变）。如果原机器并不接近共振状态，或者机器的转速很不稳定，则安装这样的消振器不仅没有好处，反而可能引起较大的振动。因为加上消振器后，系统变成了两个自由度，它有两个固有频率。假设质量比较小，则新构成的双自由度系统，其两个主频率和主质量系统的固有频率差不多。如果机器转速不稳定，都会引起激烈的振动。因此如果要使动力消振器在转速变化较大的范围内工作，必须采用可变频率的消振器（如离心摆式减振器），才能达到消振的效果。多自由度系统强迫振动\吸振有阻尼动力吸振器2122221212222212100xxkkkkkxxccccxxmmtFi1e0tXXtxtxi2121e2222222kmc