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上海教育出版社九年义务教育数学课本八年级第一学期第十九章以勾股定理为背景的数学探究活动教学设计说明一、教学内容及其解析本节课的教学内容来自上海教育出版社，八年级第一学期第十九章《几何证明》新授课后的阅读材料二“勾股定理万花筒”中的一个片段----“2．加菲尔德证法”．本节课的主要内容是通过由两个全等的直角三角形构建一个新的图形，利用图形面积的计算，再次探究勾股定理的证明方法．勾股定理在数学发展史上有着重要的地位和作用，它是定量几何的基础定理，也是初中数学课程中的经典内容．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种数量关系，是直角三角形的重要性质，是解直角三角形的主要依据．勾股定理的证明方法现有几百种，是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，数形结合的纽带之一．勾股定理不仅具有作为知识的工具性价值，而且具有数学思想方法价值，如“面积法”和“算两次”原理，借助代数推理达成目标，这些方法在推证乘法分配律和乘法公式时也曾多次用到，这些方法也是证明数学命题的重要而有效的方法．本节课是在学生已经学习了勾股定理及其逆定理，能运用勾股定理及其逆定理解决基本的有关证明或计算问题，学习了两点间距离公式等有关知识之后的一节拓展课．本节课所在单元的结构图如下：（虚线框是本节课的内容）二、教学目标及其解析基于对教学内容的思考，将本节课的教学目标设置如下：通过将两个全等的直角三角形摆拼成新的图形，再利用图形面积的不变性以探究证明勾股定理的方法，感悟图形面积与勾股定理（222cba）之间的联系；体会数形结合的数学思想，发展空间观念和有条理的思考和表达能力，体验数学活动是充满探索性的过程，以及解决问题方法的多样性；通过交流合作，体会与他人合作的重要性，并从中分享小组合作探究成功的喜悦，增强数学运算、数学推理核心素养，提升理性精神与科学精神，逐步完善求实态度．通过本节课的学习，再次体验面积割补的方法以及数形结合思想在几何证明中的重要作用，感受勾股定理的探究魅力和研究价值；在探究过程中，发展合乎逻辑地、有条理性地分析问题与解决问题的能力，在获得基本的数学活动经验基础上，将其逐步转化为学习能力．教学重点：利用两个全等的直角三角形的摆拼，探究证明勾股定理的方法．勾股定理及其逆定理勾股定理勾股定理逆定理勾股定理及其逆定理的的应用两点间距离公式勾股定理证法的探究教学难点：概括图形特征的不变性及探究规律的总结三、学生学情分析上教版教材中的《勾股定理》是八年级第一学期下半学期的教学内容，目前八年级学生还不能进行本节课的探究活动，因此上课的对象选择九年级学生．而对于九年级学生来说，勾股定理的探究过程已经比较遥远，所以为了唤醒学生记忆，设置“知识再现”环节．在本课学习之前，学生已经学习了三角形、全等三角形的一些性质、图形的运动、图形的面积公式、面积与代数恒等式之间的关系等其他学科相关知识，这些为学生本节课的学习做好了知识上的铺垫．前期关于整式乘法、勾股定理的学习经历中，学生已经具备了一些与拼图有关的问题的研究方法和经验，也能用数形结合的方式结合推理来说明一些代数等式．本节课的探究活动是从新授课中四个全等的直角三角形的拼图减少为两个全等的直角三角形，学生要有较强的直观想象能力，不仅摆拼三角形为新的图形，还要能够敢于画出摆拼位置的数学图形，通过添辅助线，利用面积关系证明勾股定理．其中摆拼的方法、辅助线的添置方法以及证明的方法，对学生都有较高的要求，需要较强的直观想象和逻辑推理能力．而且对于数的平方与图形的面积建立联系的思路，也需要教师适当的加以引导．四、教学策略分析教学策略1：以“简约”为旨，简于“图形”，富于“思路”本节课探究活动的主题是摆拼两个全等的直角三角形，进而利用面积证明勾股定理，这与新授阶段的四个全等直角三角形摆拼成正方形以说明勾股定理的方法是一致的，这样的探究不仅表现在形式上的简洁与明了，而且体现了内容与方法上的丰富多彩与深刻呈现．对于由“四个”到“两个”的变化，更需要学生剔除对象复杂多样的外在现象，运用理性思维的分析与综合、抽象与具体，揭示出教学内在的本质规律，所以，无论是活动探究过程本身，还是探究结果的呈现，都力求凸显“简约”的思想．教学策略2：以“探究”为线，强调“有序”，重在“交流”小组讨论是合作学习的核心，小组讨论质量的高低直接反映和决定合作学习效果的优劣．在本课的教学设计和实践中，我充分利用了小组合作学习的形式，把握好了几次讨论的契机，开展“活而有序”的探究活动．每次的合作学习都是在学生独立思考的基础上，开展合作探究，进而引发思想交锋，使讨论成为深化课堂教学，促进合作交流，发展创新能力的有效途径．教学策略3：以“变化”为魂，观察“特征”，概括“不变”我们往往在“平移”“旋转”“翻折”等图形运动中，以“运动”“变化”的观念来研究几何图形的的“变化规律”或“不变性”．本节课探究的结论也是围绕“运动”而展开，通过学生摆拼所得的不同图形，发现共同的特征：斜边互相垂直，再用“图形的旋转”来帮助学生理解这些不同的图形，对于这些摆拼所得的图形之间，通过平移说明相互之间的联系，也让学生理解平移改变的相对的位置，而不改变“斜边所在直线互相垂直”这个特征，所以都可以用面积的方法证明勾股定理，学生就是在不同的、变化的情境中体会这种“不变”．教学策略4：以“发展”为本，延伸“探究”，精设作业本节课两个作业都是围绕课堂的探究活动而设计的：一个是再次利用斜边所在直线互相垂直的两个全等直角三角形来证明勾股定理，进一步理解本节课得到的结论；另一个是探究当“斜边所在直线不互相垂直”的两个全等直角三角形如何证明勾股定理．这两个作业题真正体现了作业是课堂教学的延伸和拓展，本作业采用操作活动的形式，让学生通过操作、思考、观察，理解题目中蕴含的信息，学会由此及彼地联想，学会对结论的拓广，这样作业有利于学生学习能力的发展和思维品质的提升．五、教学过程设计（一）教学流程（二）具体教学设计1.知识再现（1）展示数学海螺图的形成，体验数形结合的思想，感受数学的美．（2）回顾勾股定理的证法．4个全等得直角三角形正方形222cba【设计意图】回归教材19.9（2）例4，展示数学海螺图的形成，发现数学之美，了解勾股定理对无理数发现的影响，感受数学魅力；回顾由四个全等的直角三角形通过摆拼，利用面积得到勾股定理的过程，以情景再现的方式让学生体会其中蕴含的数学思想方法，为后面的探究活动做一些准备．2.探究活动利用给定的两个全等的直角三角形（两条直角边和斜边长分别是cba、、），将它们摆拼成合适的图形（可以适当添加辅助线），再利用这个图形证明：222cba．探究活动步骤：（1）将两个全等的直角三角形摆放成合适的图形．摆拼面积知识再现引出问题独立思考合作探究说理论证总结规律探究活动回顾总结作业布置探究活动（2）合作探究：画出摆拼后的图形（可以添加辅助线），证明222cba；（3）共同交流、寻找规律．图1【设计意图】本节课的探究活动不仅仅是让学生理解勾股定理的多种证明方法，从勾股定理新课学习时的四个全等的直角三角形证明勾股定理减少为两个全等的直角三角形，让学生在经历“尝试摆拼——合作探究——严谨说理”的过程后，再次体验利用图形来证明代数等式，由“形”探“数”的结论的方法，并期望学生能够找出本节课探究的规律．本节课充分利用学生之间的合作探究交流，为学生充分提供了参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲，并进一步培养学生有条理的思考问题，规范的数学表达等能力．图2图3在这里需要让学生意识到，加菲尔德证法（图2）与我国古代的证法（图3）相比较，无论从图形构建上还是证明方法上，加菲尔德证法是“流”，我国古代的证法是“源”．从图形构建上来看，加菲尔德证法的图形是我国古代的证法图形的“一半”；加菲尔德证法：21()2ab＝211222abc，我国古代的证法：2()ab＝412ab2c，方法一致，只不过相应的系数是“倍半”关系．3.回顾总结（1）回顾本节课的学习进程，体会其中的数学思想方法；（2）延伸思考：两个全等的直角三角形摆拼成的图形（斜边所在直线不垂直）能否证明勾股定理？【设计意图】围绕本节课的学习过程，引导学生对自身学习行为的反思，启发学生从知识、方法、思想、情感等方面自主小结，提高学生提炼总结的能力；同时，问题延伸激发学生课后继续探索的兴趣，感受数学探索的魅力．4.作业布置利用两个全等的直角三角形（两条直角边和斜边长分别是cba、、）再次探究：（1）摆拼这两个全等的直角三角形，使得两条斜边所在直线互相垂直，请你画出图形并证明勾股定理222cba．（2）摆拼这两个全等的直角三角形，使得两条斜边所在直线不垂直，请你画出图形，探索能否证明勾股定理222cba？【设计意图】本节课的作业是采用操作活动的形式，让学生从不同方面和角度去观察、思考、分析与解答，训练学生的求异思维，培养学生创新意识和创造能力，也有利于发展学生能力和提升学生的思维品质．六、课堂教学目标检测在本节课的教学中，我们努力关注教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，努力关注探究活动的设计与教学目标的达成相呼应，努力关注课外作业的设计与教学目标的达成相呼应．由于我们将探究活动延伸到课后，因此课堂教学目标检测也就只能延伸到课后进行．上海教育出版社九年义务教育数学课本八年级第一学期第十九章以勾股定理为背景的数学探究活动点评稿奉贤区教育学院钟菊红朱瑛洁老师是上海市奉贤区青溪中学的一位优秀的初中数学青年教师，她执教的《以勾股定理为背景的数学探究活动》是上教版初中数学八年级第一学期第十九章的阅读材料中的一个片段。本节课以教材阅读材料为蓝本，以学生已有的学习经验为探究活动的基础，以学生的合作学习为探究活动的主要形式，以学生的学科素养的提升为探究活动的依据和最终目标，呈现了一堂精彩的数学课，也展现了教师良好的教学素养，教学效果显著。主要有以下特点：一、以学生已有的知识经验为探究活动的基础本节课教师在深入分析教学内容和准确把握学生认知基础和能力基础的前提下，合理设计了每一个教学环节。在探究活动之前，学生重温了无理数在数轴上的表示、勾股定理的证明过程，并且学生已经具有拼图、画图、说理等活动经验，这些认知准备与活动经验是本课探究活动的坚实基础，并以此为起点达到本课的教学目标．二、以学生的合作学习为探究活动的主要形式本节课的探究活动是利用给定的两个全等的直角三角形（两条直角边和斜边长分别是cba、、），将它们摆拼成合适的图形（可以适当添加辅助线），再利用这个图形证明222cba．整个探究的过程，主要以小组合作学习的形式进行．由于探究内容的趣味性和挑战性，整堂课内学生参与热情高涨，合作学习欲望强烈．在课堂中学生既有独立思考、自主探索，又有动手操作、合作探究，还有小组展示、交流互动等，很多时间用在师生对话、交流中，用在学生操作、探究、发现中．学生的思维始终处在不断尝试解决问题的状态中，使合作学习达到了应有的效果．三、以学生的学科核心素养的提升为探究活动的最终目标本节课探索利用两个全等直角三角形证明勾股定理，从表层来看，是在探索不同的摆拼方法，但从本质来看，是让学生探究这些不同摆拼方法的内在联系和共同规律，从中找出有关的数量关系和空间形式，并用数学语言表述出来；是让学生探索出反映一类问题的模型，体验“从特殊一般”研究问题的思想方法，而这种思想方法在学生今后的发展中，是极为需要的．在探究活动之后的交流中可以看出：通过数学特有的语言系统和逻辑系统，学生运用抽象思维，发展精准、严谨的语言表达能力；通过探究活动的学习进程，学生进一步理解一些代数式的几何意义，由数、形两种的不同的视角和路径达到相同探究目标，进一步感悟数形结合思想方法的独特魅力；在进行代数运算与逻辑推理过程中，学生增强了数学运算、数学推理核心素养，有利于理性精神与科学精神的提升，求实态度的逐步完善，从而体现数学学科所特有的教育价值．1、一知半解的人，多不谦虚；见多识广有本领的人，一定谦虚。——谢觉哉2、人若勇敢就是自己最好的朋