二次函数与圆结合的动点问题教学设计

初三数学专项攻克课程设计课题：二次函数与圆结合的动点问题教学目标：1.了解二次函数与圆结合中动点问题的基本考点和思路。2.能根据具体条件分析出二次函数解析式，并找出最优解答方案。3.懂得思路转化和灵活应用，学生可以做到举一反三，灵活解题。教学重点：1.理解二次函数与圆结合问题的解题思路。2.会用数形结合的方法对此类问题进行分析和转化。3.学会用分类讨论法解决问题所遇到的问题。教学难点：1.数形结合的灵活运用。2.对题进行正确的分类，便于后面计算。重点剖析如图，在直角坐标系中,以点M(3,0)为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B,交轴的正半轴于点C过点C的直线交x轴的负半轴于点D(-9,0)（1）求4、C两点的坐标。(2)求证直线CD是OM的切线。（2）若抛物线经过M、A两点，求此抛物线的解析式。（3）连接AC,若(3)中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E,与AC交于点F。如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P.使得SPAM:SCEF3=3：3，若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由。注意:本题中的结果均保留根号思路分析：(1)已知了M的坐标和圆的半径即可求出A点坐标，连接MC可在直角三角形OMC中，用勾,股定理求出OC的长，即可得出C点的坐标.(2)连接MC,证MC⊥CD即可.根据0D的长和0C的长，不难得出∠0DC=30,同理可在直角三角形OCM中，求出∠OMC=60°,由此可得出∠DCM=90°,由此可得证.(3)将M、A的坐标代入抛物线中求解即可.(4)本题可先求出三角形CEF的面积，然后根据两三角形的面积比求出三角形PAM的面积，由于AM是定值，根据三角形PAM的面积即可求出P点的纵坐标的绝对值,代入拋物线中即可求出P点的坐标。解答:解:(1)连接CM,由题意得:OM=3,OB=3,OE=9,MC=6OA=OM+MA=9，A=3+6=9即A的坐标为（9,0）22OMMCOC=33C（0,33）（2）证法一：在RtDCO中，因为DC=3622CODO在RtDCM中，因为14422DCCM222DMDCCMDCM为直角三角形即MCDC,而MC是圆M的半径CD是圆M的切线证法二：为圆半径而中，在中，在。。。MCDCMCDCOMCODCMDCORMCOR,90603339CODODCOtanDOCt3021CMOCMCOsinCOMt（3）由抛物线cbxx2y经过点M（3,0）和点A（9,0），可得09810d39cbc解得2712bc抛物线的解析式为：2712y2xx（4）存在设抛物线的对称轴交x轴于点H在（2）中已证：），）或（，（时，得当解得：坐标为（在轴的上方，设点若点可得：，则于点作过点是等边三角形中，在垂直平分抛物线的对称轴平行于，。。。。。。4136413-613644y3:3312:33:3:,321),,;31221,3466060t30960y3060PxyyPAMSyyAMPAMyxPPCGEFCEFSEFCGGEFCGCCEFEFCAFHAFHRCDOCAOADCOOAODDOCCEFCDODCO（2）若点P在x轴，则点P与点M或与点A重合，此时不构成三角形（3）若p点在x轴下方，设点p的坐标为（x,y）43:3312:y3-3:3:,3)(21yCEFSPAMSyyAMPAMS得：即当y=-4时，即），）或（，）或（，）或（，（个即这样的点一共有），或（解得4-564-5-64136413-6P44-56)4,56(56,42712x2Pxx在面对此类二次函数与圆结合的动点问题时，数形结合不失为一种很好的解决方案。以题设所给信息构建图形，再转化为所需要的数学公式求解所需数值，同时针对特定题型辅助以分类讨论对所求问题进行论证。从而达到攻克本题的目的。专项练习一如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以5为半径作圆，与轴交于、两点，与轴交于、两点，二次函数)0(y2ccbxax的图象经过点、、，顶点为1）求此二次函数的表达式；（2）设，，CBEDBC求)(sin的值；（3）坐标轴上是否存在点P，使得以P,A,C为顶点的三角形与BCE相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由(1)因为点为圆心，半径为5，所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；因为点、点在二次函数上，根据二次函数的性质，可知对称轴为x=1，则12b-a，得①；将点、点的坐标代入二次函数的解析式中，得②，③，由①②③得，，，，所以二次函数的解析式为；（2）过点E作EFy轴于点F，因为，，所以BC=32；因为点E为二次函数的顶点，所以点，所以CE=2，，；因为，，所以。45ECFOCB，故。90BCE；在中中与BODRBCERtt，故，22sin)sin()sin(,,31tan,31tanBCOCOBCBODDBCCBEOBDBCCECBEOBODOBD所以故（3）在坐标轴上存在三个点，)31,0(2P，，使得以P,A,C为顶点的三角形与BCE相似。专项练习二如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5,4),OM与y轴相切于点C,与x轴相交于A,B两点。(1)则点A,B,C的坐标分别是A，B，C;(2)设经过AB两点的抛物线解析式为y=(x-5)2+k，它的顶点为E，求证:直线EA与0M相切;(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰二角形?如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由。解题思路：（1）连接MC、MA，由切线的性质得出MC⊥y轴，MC=MA=5，OC=MD=4，得出点C的坐标；由MD⊥AB，得出DA=DB，∠MDA=90°，由勾股定理求出AD，得出BD、OA、OB，即可得出点A、B的坐标；（2）把点A（2，0）代入抛物线得出k=-，得出顶点E的坐标，得出DE、ME，由勾股定理得出EA2=，证出MA2+EA2=ME2，由勾股定理的逆定理证出∠MAE=90°，即可得出EA与⊙M相切；（3）由勾股定理求出BC，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，容易得出点P的坐标；②当BP=BC=4时，由勾股定理求出PD，即可得出点P的坐标；③当PC=BC=4时，由勾股定理求出PM，得出PD，即可得出点P的坐标．（1）解：连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD==3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8，∴A（2，0），B（8，0），故答案为（2，0）；（8，0）；（0，4）；（2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=（x-5）2+k，得：k=-，∴E（5，-），∴DE=，∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，∵MA2+EA2=52+=，ME2=，∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：由勾股定理得：BC===4，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，∴P（5，4）；②当BP=BC=4时，如图2所示：∵PD===，∴P（5，）；③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM===，∴PD=4+，∴P（5，4+）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．数形结合是本题解题的主要方法，专项练习三如图所示,在平面直角坐标系中,圆M经过原点,且与x轴,y轴分别相交于A(-6,0),B(0,-8)两点.(1)请求出直线的函数表达式;(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在圆M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数表达式;（3）设（2）中的抛物线交x轴于D,E两点,在抛物线上是否存在点P,使得ABCSPDES151?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。解：（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），∵直线AB经过A（-6，0），B（0，-8），∴由此可得解得∴直线AB的函数表达式为y=-x-8．（2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得，∵⊙M经过O，A，B三点，且∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∴半径MA=5，设抛物线的对称轴交x轴于点N，∵MN⊥x，∴由垂径定理，得AN=ON=OA=3．在Rt△AMN中，，∴CN=MC-MN=5-4=1，∴顶点C的坐标为（-3，1），设抛物线的表达式为y=a（x+3）2+1，∵它经过B（0，-8），∴把x=0，y=-8代入上式，得-8=a（0+3）2+1，解得a=-1，∴抛物线的表达式为y=-（x+3）2+1=-x2-6x-8．（3）如图，连接AC，BC，S△ABC=S△AMC+S△BMC=•MC•AN+MC•ON=×5×3+×5×3=15．在抛物线y=-x2-6x-8中，设y=0，则-x2-6x-8=0，解得x1=-2，x2=-4．∴D，E的坐标分别是（-4，0），（-2，0），∴DE=2；设在抛物线上存在点P（x，y），使得S△PDE=S△ABC=×15=1，则S△PDE=•DE•|y|=×2×|y|=1，∴y=±1，当y=1时，-x2-6x-8=1，解得x1=x2=-3，∴P1（-3，1）；当y=-1时，-x2-6x-8=-1，解得x1=-3+，x2=-3-，∴P2（-3+，-1），P3（-3-，-1）．综上所述，这样的P点存在，且有三个，P1（-3，1），P2（-3+，-1），P3（-3-，-1）．