高考卷 普通高等学校招生考试 数学（文史类）（北京卷）

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知costan0，那么角是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数()3(02)xfxx≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)，3．函数()sin2cos2fxxx的最小正周期是（）Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π4．椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，若12MNFF≤，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．102，Ｂ．202，Ｃ．112，Ｄ．212，5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）Ａ．2142610CA个Ｂ．242610AA个Ｃ．2142610C个Ｄ．242610A个6．若不等式组502xyyax≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）Ａ．5aＢ．7a≥Ｃ．57a≤Ｄ．5a或7a≥7．平面∥平面的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线aa，∥，∥Ｂ．存在一条直线aaa，，∥Ｃ．存在两条平行直线ababab，，，，∥，∥Ｄ．存在两条异面直线abaab，，，∥，∥8．对于函数①()2fxx，②2()(2)fxx，③()cos(2)fxx，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)fx是偶函数；命题乙：()fx在()，上是减函数，在(2)，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）第II卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是．10．若数列na的前n项和210(123)nSnnn，，，，则此数列的通项公式为．11．已知向量2411，，，a=b=．若向量()ba+b，则实数的值是．12．在ABC△中，若1tan3A，150C，1BC，则AB．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于．14．已知函数()fx，()gx分别由下表给出则[(1)]fg的值为；当[()]2gfx时，x．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共12分）记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x≤的解集为Q．（I）若3a，求P；（II）若QP，求正数a的取值范围．16．（本小题共13分）数列na中，12a1nnaacn（c是常数，123n，，，），且123aaa，，成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求na的通项公式．17．（本小题共14分）如图，在RtAOB△中，π6OAB，斜边4AB．RtAOC△可以通过RtAOB△以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中点．（I）求证：平面COD平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．18．（本小题共12分）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；19．（本小题共14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点(20)M，，AB边所在直线的方程为360xy点(11)T，在AD边所在直线上．x123()fx211x123()fx321OCADBDTNOABCMxy（I）求AD边所在直线的方程；（II）求矩形ABCD外接圆的方程；（III）若动圆P过点(20)N，，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．20．（本小题共14分）已知函数ykx与22(0)yxx≥的图象相交于11()Axy，，22()Bxy，，1l，2l分别是22(0)yxx≥的图象在AB，两点的切线，MN，分别是1l，2l与x轴的交点．（I）求k的取值范围；（II）设t为点M的横坐标，当12xx时，写出t以1x为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较OM与ON的大小，并说明理由（O是坐标原点）．2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案CBBDACDC1．∵costan0，∴当cosθ0，tanθ0时，θ∈第三象限；当cosθ0，tanθ0时，θ∈第四象限，选C。2．函数()3(02)xfxx≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，，∴选B。3．函数()sin2cos2fxxx=2sin(2)4x，它的最小正周期是π，选B。4．椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，若2||2aMNc，12||2FFc，12MNFF≤，则22acc，该椭圆离心率e≥22，取值范围是212，，选D。Ａ．102，Ｂ．202，Ｃ．112，Ｄ．212，5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有2142610CA个，选A。6．如图，不等式组502xyx≥，≤≤表示的平面区域是一个梯形，它的一个顶点坐标是(2，7)，用平行于x轴的直线y≥a截梯形得到三角形，则a的取值范围是57a≤，选C。7．平面∥平面的一个充分条件是存在两条异面直线abaab，，，∥，∥，选Ｄ．8．对于函数①()2fxx，函数(2)|4|fxx不是偶函数，对于函数③()cos(2)fxx，是一个周期函数，周期是2π，不可能在()，上是减函数，在(2)，上是增函数；所以函数①③都不符合条件，只有函数②2()(2)fxx，能使命题甲、乙均2,7520yx为真，选C。二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号91011121314答案3211n31027251，19．()fx是31()213fxxx的导函数，2'()2fxx，则(1)f=3．10．若数列na的前n项和210(123)nSnnn，，，，数列为等差数列，数列的通项公式为1nnnaSS=211n．11．已知向量2411ab，，，==．向量(2,4)ab，()bab+，则2+λ+4+λ=0，实数=－3．12．在ABC△中，若1tan3A，150C，∴A为锐角，1sin10A，1BC，则根据正弦定理ABsinsinBCCA=102。．13．图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a,b，则2225162abab，∴两条直角边的长分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为，cosθ=54，cos2θ=2cos2θ－1=725。14．已知函数()fx，()gx分别由下表给出则[(1)]fg=(3)1f；当[()]2gfx时，()2fx，x1．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共12分）解：（I）由301xx，得13Pxx．x123()fx211x123()fx321（II）1102Qxxxx≤≤≤．由0a，得1Pxxa，又QP，所以2a，即a的取值范围是(2)，．16．（共13分）解：（I）12a，22ac，323ac，因为1a，2a，3a成等比数列，所以2(2)2(23)cc，解得0c或2c．当0c时，123aaa，不符合题意舍去，故2c．（II）当2n≥时，由于21aac，322aac，1(1)nnaanc，所以1(1)[12(1)]2nnnaancc．又12a，2c，故22(1)2(23)nannnnn，，．当1n时，上式也成立，所以22(12)nannn，，．17．（共14分）解法一：（I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO平面COD．平面COD平面AOB．（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO∥，CDE是异面直线AO与CD所成的角．在RtCOE△中，2COBO，112OEBO，225CECOOE．OCADBE又132DEAO．在RtCDE△中，515tan33CECDEDE．异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3．解法二：（I）同解法一．（II）建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则(000)O，，，(0023)A，，，(200)C，，，(013)D，，，(0023)OA，，，(213)CD，，，cosOACDOACDOACD，6642322．异面直线AO与CD所成角的大小为6arccos4．18．（共13分）解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为610661512.15121010AP≥．（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为33666914580.014581010CP．19．（共14分）解：（I）因为AB边所在直线的方程为360xy，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3．又因为点(11)T，在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为13(1)yx．320xy．OCADBxyz（II）由36032=0xyxy，解得点A的坐标为(02)，，因为矩形ABCD两条对角线的交点为(20)M，．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又22(20)(02)22AM．从而矩形ABCD外接圆的方程为22(2)8xy．（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以22PMPN，即22PMPN．故点P的轨迹是以MN，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支．因为实半轴长2a，半焦距2c．所以虚半轴长222bca．从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(2)22xyx≤．20．（本小题共14分）解：（I）由方程22ykxyx，消y得220xkx．················①依题意，该方程有两个正实根，故212800kxxk，，解得22k．