高考卷 普通高等学校招生考试 （福建卷）数学（理工农医类）全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）（福建卷）数学（理工农医类）全解全析第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数2)1(1i等于A错误!未找到引用源。21B－21C、21iD－21i解析：2)1(1i=ii2121，选D（2）数列{错误!未找到引用源。}的前n项和为错误!未找到引用源。，若)1(1nnan错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。等于A1B错误!未找到引用源。C61错误!未找到引用源。D301错误!未找到引用源。解析：)1(1nnan=111nn，所以656151514141313121211543215aaaaaS，选B（3）已知集合A＝{x|xa}，B＝{x|1x2}，且错误!未找到引用源。=R，则实数a的取值范围是Aa错误!未找到引用源。Ba1Ca错误!未找到引用源。2Da2解析：1|{xxBCR或}2x，因为错误!未找到引用源。=R，所以a错误!未找到引用源。2，选C（4）对于向量，a、b、c和实数错误!未找到引用源。，下列命题中真命题是A若错误!未找到引用源。，则a＝0或b＝0B若错误!未找到引用源。，则λ＝0或a＝0C若错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。，则a＝b或a＝－bD若错误!未找到引用源。，则b＝c解析：a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B（5）已知函数f(x)＝sin(错误!未找到引用源。)(错误!未找到引用源。)的最小正周期为错误!未找到引用源。，则该函数的图象A关于点（错误!未找到引用源。，0）对称B关于直线x＝错误!未找到引用源。对称C关于点（错误!未找到引用源。，0）对称D关于直线x＝错误!未找到引用源。对称解析：由函数f(x)＝sin(错误!未找到引用源。)(错误!未找到引用源。)的最小正周期为错误!未找到引用源。得2，由2x+3=kπ得x=621k，对称点为（621k，0）（zk），当k=1时为（3，0），选A（6）以双曲线错误!未找到引用源。的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是A错误!未找到引用源。B错误!未找到引用源。C错误!未找到引用源。D错误!未找到引用源。解析：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为xy34，即034yx，45|020|r，圆方程为16)5(22yx，即A错误!未找到引用源。，选A（7）已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|错误!未找到引用源。|)f(1)的实数x的取值范围是A（－1，1）B（0，1）C（－1，0）错误!未找到引用源。（0，1）D（－错误!未找到引用源。，－1）错误!未找到引用源。（1，＋错误!未找到引用源。）解析：由已知得1||1x解得01x或0x1，选C（8）已知m、n为两条不同的直线，错误!未找到引用源。为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.mnm,,∥，n∥∥B.∥，nm,，m∥nC.m⊥，m⊥nn∥D.n∥m,n⊥m⊥解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D（9）把1＋（1＋x）＋(1＋x)2＋…＋（1＋x）n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则错误!未找到引用源。112limnnnaa等于A错误!未找到引用源。41B21C1D2解析：令x=1得an=1+2+22+……+2n=12212111nn，222322lim112lim11nnnnnnaa，选D（10）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A’B’C’D’中，AB＝1，AA’＝错误!未找到引用源。，则A、C两点间的球面距离为A错误!未找到引用源。B错误!未找到引用源。C错误!未找到引用源。D错误!未找到引用源。解析：正四棱柱的对角线为球的直径，由4R2=1+1+2=4得R=1，AC=222RR，所以∠AOC=2（其中O为球心）A、C两点间的球面距离为2，选B（11）已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f’(x)0，g’(x)0，则x0时Af’(x)0，g’(x)0Bf’(x)0，g’(x)0Cf’(x)0，g’(x)0Df’(x)0，g’(x)0解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反,x0时f’’(x)0,g’(x)0,递增,当x0时,f(x)递增,f’(x)0;g(x)递减,g’(x)0,选B（12）如图，三行三列的方阵有9个数错误!未找到引用源。（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是A73B74错误!未找到引用源。C错误!未找到引用源。141D1413错误!未找到引用源。解析：从中任取三个数共有8439C种取法，没有同行、同列的取法有6111213CCC，至少有两个数位于同行或同列的概率是14138461，选D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。（13）已知实数x、y满足错误!未找到引用源。，则z＝2x－y的取值范围是____________；解析：画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7]（14）已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为__________；解析：设c=1，则121212122222aceaacaab（15）两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数错误!未找到引用源。的数学期望错误!未找到引用源。＝_______；解析：ξ的取值有0，1，2，91)2(,949)1(,94922)0(1212pCCpp，所以Eξ=32912941940（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“错误!未找到引用源。”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a错误!未找到引用源。A，都有a错误!未找到引用源。a；（2）对称性：对于a，b错误!未找到引用源。A，若a错误!未找到引用源。b，则有b错误!未找到引用源。a；（3）传递性：对于a，b，c错误!未找到引用源。A，若a错误!未找到引用源。b，b错误!未找到引用源。c则有a错误!未找到引用源。c则称“错误!未找到引用源。”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立），请你再列出三个等价关系：___________。解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在错误!未找到引用源。中，tanA＝错误!未找到引用源。，tanB＝错误!未找到引用源。，（1）求角C的大小；（2）若错误!未找到引用源。最大边的边长为错误!未找到引用源。，求最小边的边长。本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力．解：（Ⅰ）π()CAB，1345tantan()113145CAB．又0πC，3π4C．（Ⅱ）34C，AB边最大，即17AB．又tantan0ABAB，，，，角A最小，BC边为最小边．由22sin1tancos4sincos1AAAAA，，且π02A，，得17sin17A．由sinsinABBCCA得：sin2sinABCABC．所以，最小边2BC．（18）（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A－A1D－B的大小；（3）求点C到平面A1BD的距离。本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解法一：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．ABC△为正三角形，AOBC⊥．正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，AO⊥平面11BCCB．连结1BO，在正方形11BBCC中，OD，分别为ABCD1A1C1BOF1BCCC，的中点，1BOBD⊥，1ABBD⊥．在正方形11ABBA中，11ABAB⊥，1AB⊥平面1ABD．（Ⅱ）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD⊥于F，连结AF，由（Ⅰ）得1AB⊥平面1ABD．1AFAD⊥，AFG∠为二面角1AADB的平面角．在1AAD△中，由等面积法可求得455AF，又1122AGAB，210sin4455AGAFGAF∠．所以二面角1AADB的大小为10arcsin4．（Ⅲ）1ABD△中，1115226ABDBDADABS△，，，1BCDS△．在正三棱柱中，1A到平面11BCCB的距离为3．设点C到平面1ABD的距离为d．由11ABCDCABDVV得111333BCDABDSSd△△，1322BCDABDSdS△△．点C到平面1ABD的距离为22．解法二：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．ABC△为正三角形，AOBC⊥．在正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，AD⊥平面11BCCB．取11BC中点1O，以O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B，，，(110)D，，，1(023)A，，，(003)A，，，1(120)B，，，1(123)AB，，，(210)BD，，，1(123)BA，，．12200ABBD，111430ABBA，1ABBD⊥，11ABBA⊥．1AB⊥平面1ABD．（Ⅱ）设平面1AAD的法向量为()xyz，，n．(113)AD，，，1(020)AA，，．AD⊥n，1AA⊥n，100ADAA，，nn3020xyzy，，03yxz，．令1z得(301)，，n为平面1AAD的一个法向量．由（Ⅰ）知1AB⊥平面1ABD，1AB为平面1ABD的法向量．cosn，1113364222ABABABnn．二面角1AADB的大小为6arccos4．（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB为平面1ABD法向量，1(200)(123)BCAB，，，，，．点C到平面1ABD的距离1122222BCABdAB．（19）（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3错误!未找到引用源。a错误!未找到引用源。5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9错误!未找到引用源。x错误!未找到引用源。11）时，一年的销售量为（12－x）2万件。xzABCD1A1C1BOFy（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：2(3)(12)[911]Lxaxx，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)Lx