高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（理科）全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科）全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(012)kknknnPkCppnn，，，，一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{12345}U，，，，，{13}A，，{234}B，，，则UUAB痧（）A．{1}B．{2}C．{24}，D．{1234}，，，解析：B2．若函数()yfx的反函数图象过点(15)，，则函数()yfx的图象必过点（）A．(11)，B．(15)，C．(51)，D．(55)，解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选C3．若向量a与b不共线，0ab，且aac=a-bab，则向量a与c的夹角为（）A．0B．π6C．π3D．π2解析：因为0)(22babaaaca，所以向量a与c垂直，选D4．设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（）A．63B．45C．36D．27解析：由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，所以S=45，选B5．若35ππ44，，则复数(cossin)(sincos)i在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：取θ=π得(cossin)(sincos)i=-1+i，第二象限，选B6．若函数()yfx的图象按向量a平移后，得到函数(1)2yfx的图象，则向量a=（）A．(12)，B．(12)，C．(12)，D．(12)，解析：函数(1)2yfx为)1(2xfy，令2,1''yyxx得平移公式，所以向量a=(12)，，选A7．若mn，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m，，则mB．若mn，mn∥，则∥C．若m，m∥，则D．若，⊥，则解析：由有关性质排除A、B、D，选C8．已知变量xy，满足约束条件20170xyxxy≤，≥，≤，则yx的取值范围是（）A．]6,59[B．965，，C．36，，D．[36]，解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（29,25），yx表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（29,25）时取最小值59，选A9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．122B．111C．322D．211解析：从中任取两个球共有66212C种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有122326CC种取法，概率为1126612，选D10．设pq，是两个命题：21251:log(||3)0:066pxqxx，，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：p：344||313||0xxx或43x，q：),21()31,(，结合数轴知p是q的充分而不必要条件，选A11．设P为双曲线22112yx上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PFPF，则12PFF△的面积为（）A．63B．12C．123D．24解析：因为12||:||3:2PFPF，设xPFxPF2||,3||21，根据双曲线定义得2223||||21axxxPFPF，所以132||,4||,6||2121FFPFPF，2224652)132(，12PFF△为直角三角形，其面积为124621，选B12．已知()fx与()gx是定义在R上的连续函数，如果()fx与()gx仅当0x时的函数值为0，且()()fxgx≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（）A．0是()fx的极大值，也是()gx的极大值B．0是()fx的极小值，也是()gx的极小值C．0是()fx的极大值，但不是()gx的极值D．0是()fx的极小值，但不是()gx的极值解析：根据题意和图形知当0是()fx的极大值时，不是()gx的极值是不可能的，选C第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数2cos(0)()1(0)axxfxxx≥，在点0x处连续，则a．解析：因为2cos(0)()1(0)axxfxxx≥，在点0x处连续，所以1)0()(lim)(lim00afxfxfxx，填-114．设椭圆2212516xy上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足1()2OMOPDF，则||OM=．解析：椭圆2212516xy左准线为325x，左焦点为（-3，0），P（)328,35，由已知M为PF中点，M（)324,32，所以||OM2)324()32(2215．若一个底面边长为62，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为．解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由12)6()6()2(222R得R=3，球体积为34343R16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为i(i126)a，，，，若11a，33a，55a，135aaa，则不同的排列方法有种（用数字作答）．解析：分两步：（1）先排531,,aaa，1a=2，有2种；1a=3有2种；1a=4有1种，共有5种；（2）再排642,,aaa，共有633A种，故不同的排列方法种数为5×6=30，填30三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sinsin2cos662xfxxxxR，（其中0）（I）求函数()fx的值域；（II）若对任意的aR，函数()yfx，(π]xaa，的图象与直线1y有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数()yfxxR，的单调增区间．本小题主要考查三角函数公式，三角函数图像和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．（I）解：)1(coscos21sin23cos21sin23)(xxxxxxf1)cos21sin23(2xx1)6sin(2x···············································5分由，1)6sin(1-x得11)6(2sin3-x可知函数)(xf的值域为1,3。·······································································7分（II）解：由题设条件及三角函数图像和性质可知，)(xfy的周期为，又由0，得2，即得2。··················································································9分于是有1)62sin(2)(xxf，再由)(226222Zkkxk，解得)(36Zkkxk。1B所以)(xfy的单调增区间为).(3k6-kZk，··································12分18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，90ACB，ACBCa，DE，分别为棱ABBC，的中点，M为棱1AA上的点，二面角MDEA为30．（I）证明：111ABCD；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力（I）证明：连结CD，三棱柱111ABCABC是直三棱柱，1A1CCBAMDE1CC平面ABC，CD为1CD在平面ABC内的射影．ABC△中，ACBC，D为AB中点，ABCD，1ABCD．11ABAB∥，111ABCD．····························································································4分（II）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF．DE，分别为ABBC，的中点，DEAC⊥．又AFCE∥，CEAC⊥．AFDE⊥．MA⊥平面ABC，AF为MF在平面ABC内的射影．MFDE⊥．MFA为二面角MDEA的平面角，30MFA．在RtMAF△中，122aAFBC，30MFA，36AMa．作AGMF⊥，垂足为G，MFDE⊥，AFDE⊥，DE⊥平面DMF，平面MDE⊥平面AMF，AG⊥平面MDE．在RtGAF△中，30GFA，2aAF，4aAG，即A到平面MDE的距离为4a．CADE∥，CA∥平面MDE，C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为4a．解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF．DE，分别为ABBC，的中点，DEAC∥．1A1C1BCBAMDEFG又AFCE∥，CEDEAFDE⊥．MA⊥平面ABC，AF是MF在平面ABC内的射影，MFDE⊥．MFA为二面角MDEA的平面角，30MFA．在RtMAF△中，122aAFBC，30MFA，36AMa．···························································································8分设C到平面MDE的距离为h，MCDECMDEVV．1133CDEMDESMASh△2128CDEaSCEDE△，36MAa，211322cos3012MDEAFSDEMFDEa△，221313386312aaah，4ah，即C到平面MDE的距离为4a．·······················································12分19．（本小题满分12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为3232010(0)3qCqqq该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：市场情形概率价格p与产量q的函数关系式好0.41643pq中0.41013pq差0.2704pq设123LLL，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．（I）分别求利润123LLL，，与产量q的函数