高考数学复习 第2讲 导数及其应用课件

高考真题自测热点考向突破思想方法感悟第2讲导数及其应用体验高考1.(2013年大纲全国卷,文10)已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a等于(D)(A)9(B)6(C)-9(D)-6解析:y'=4x3+2ax由题意知y'|x=-1=-4-2a=8,∴a=-6.故选D.高考真题自测—夯基础提速度2.(2012年高考重庆卷,文8)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是(C)解析:∵f(x)在x=-2处取得极小值,∴当x-2时,f(x)单调递减,即f'(x)0;当x-2时,f(x)单调递增,即f'(x)0.∴当x-2时,y=xf'(x)0;当x=-2时,y=xf'(x)=0;当-2x0时,y=xf'(x)0;当x=0时,y=xf'(x)=0;当x0时,y=xf'(x)0.结合选项中图象知选C.3.(2013年大纲全国卷,文21)已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.(1)求a=-2时,讨论f(x)的单调性;(2)若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.解:(1)当a=-2时,f(x)=x3-32x2+3x+1,f'(x)=3x2-62x+3.令f'(x)=0,得x1=2-1,x2=2+1.当x∈(-∞,2-1)时,f'(x)0,f(x)在区间(-∞,2-1)上是增函数;当x∈(2-1,2+1)时,f'(x)0,f(x)在区间(2-1,2+1)上是减函数;当x∈(2+1,+∞)时,f'(x)0,f(x)在区间(2+1,+∞)上是增函数.(2)由f(2)≥0得a≥-54.当a≥-54,x∈(2,+∞)时,f'(x)=3(x2+2ax+1)≥32512xx=31,2x(x-2)0,所以f(x)在区间(2,+∞)上是增函数,于是当x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0.综上,a的取值范围是5,4.感悟备考导数及其应用是高考考查的重点,主要考查导数几何意义的应用、导数在研究函数的单调性、极值和最值中的应用、导数在研究方程、不等式等问题中的应用.在复习备考中要熟练掌握导数的概念、几何意义、导数的运算、导数与函数单调性的关系、导数与函数极值和最值的关系等基础内容,在此基础上,还要掌握一些解决问题的方法,比如如何使用导数的几何意义求曲线的切线方程、如何使用导数研究函数的单调性、如何使用导数研究函数的极值和最值;以及渗透在其中的数形结合、分类讨论、等价转化等多种思想方法.做到方法灵活运用,解题快速敏捷.考向一导数的概念及运算求函数y=f(x)的导数f'(x)的常用方法:一是利用导数的定义求;二是利用基本导数公式和导数的运算法则求.【例1】已知f(x)=x3+x2f'(1)+3xf'(-1),则f'(1)+f'(-1)=.热点考向突破—讲策略促迁移解析:∵f'(1),f'(-1)为常量,∴f'(x)=3x2+2xf'(1)+3f'(-1),∴f'(1)=3+2f'(1)+3f'(-1),f'(-1)=3-2f'(1)+3f'(-1),即f'(1)+3f'(-1)=-3,2f'(1)-2f'(-1)=3,联立解得f'(1)=38,f'(-1)=-98,∴f'(1)+f'(-1)=-34.答案:-34关注细节函数y=f(x)在x=x0处的导数就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值f'(x0).本题的亮点是在函数方程思想与导数交汇处命题,切入点是理解导数的概念,关键点是导数运算法则的正确使用,注意点是f'(1)、f'(-1)是常量.热点训练1已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=3x2+2xf'(2),则f'(5)=.解析:对f(x)=3x2+2xf'(2)求导,得f'(x)=6x+2f'(2),令x=2,得f'(2)=-12.再令x=5,得f'(5)=6×5+2f'(2)=6.答案:6考向二导数的几何意义1.热点内容求曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程,可设切点为(x1,y1),由1110110()()yfxyyfxxx解出x1,进而确定过点M的切线方程为y-y0=f'(x1)(x-x0).2.问题引领如果曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线垂直于x轴,那么y=f(x)在(x0,y0)处导数存在吗?此时,切线方程是什么?答案:导数不存在,切线方程为x=x0.【例2】(1)(2013济南高三二模)已知曲线y=13x3-x2的切线方程为y=-x+b,则b的值是()(A)-13(B)13(C)23(D)-23(2)(2013惠州高三一模)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为π0,4,则点P横坐标的取值范围为()(A)21,1(B)[-1,0](C)[0,1](D)1,21解析:(1)y'=x2-2x,令y'=-1得x=1,∴切点坐标为21,3.∵这一切点也在切线上,∴-23=-1+b,∴b=13.选B.(2)y'=2x+2,∵切线的倾斜角α∈π0,4,∴y'=tanα∈[0,1],即0≤2x+2≤1,解得-1≤x≤-12.选A.热点训练2(1)(2013辽宁五校协作体高三二模)曲线y=3lnx+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是()(A)(0,1)(B)(1,-1)(C)(1,3)(D)(1,0)(2)(2013山东滨州一模)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,如果f'(x)是二次函数,f'(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,3),那么曲线y=f(x)上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是()(A)3,0π(B)2,3ππ(C)32,2ππ(D)ππ,3解析:(1)设P0(x0,y0),则y'0xx=03x+1=4.∴x0=1,y0=3,∴切点坐标为(1,3),选C.(2)由题意,设f'(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵顶点坐标为(1,3),∴2ba=1且244acba=3,化为b=-2a,c=3+a,∴f'(x)=ax2-2ax+3+a=a(x-1)2+3.又f'(x)图象开口向上,∴a0,∴f'(x)≥3.设切线倾斜角为α,则tanα≥3,又α的范围是[0,π),∴α∈2,3ππ,选B.考向三利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的步骤:第一步:确定函数f(x)的定义域;第二步:求f'(x);第三步:解方程f'(x)=0在定义域内的所有实数根;第四步:将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间;第五步:确定f'(x)在各小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.【例3】已知函数f(x)=-13x3+2ax2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f'(x)2(a-1)成立,求实数a的取值范围;(3)若过点10,3可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,求实数a的取值范围.解:(1)当a=3时,f(x)=-13x3+32x2-2x,得f'(x)=-x2+3x-2.因为f'(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2),所以当1x2时,f'(x)0,函数f(x)单调递增;当x1或x2时,f'(x)0,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)法一由f(x)=-13x3+2ax2-2x,得f'(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f'(x)2(a-1)成立,即对于任意x∈[1,+∞)都有-x2+ax-22(a-1)成立,即对于任意x∈[1,+∞)都有x2-ax+2a0成立.令h(x)=x2-ax+2a,要使对任意x∈[1,+∞)都有h(x)0成立,必须满足Δ0或0,1,2(1)0,ah即a2-8a0或280,1,210,aaaa所以实数a的取值范围为(-1,8).法二由f(x)=-13x3+2ax2-2x,得f'(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f'(x)2(a-1)成立,所以问题转化为,对于任意x∈[1,+∞)都有[f'(x)]max2(a-1).因为f'(x)=-22ax+24a-2,其图象开口向下,对称轴为x=2a.①当2a1时,即a2时,f'(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f'(x)max=f'(1)=a-3,由a-32(a-1),得a-1,此时-1a2.②当2a≥1时,即a≥2时,f'(x)在1,2a上单调递增,在,2a上单调递减,所以f'(x)max=f'2a=24a-2,由24a-22(a-1),得0a8,此时2≤a8.综上①②可得,实数a的取值范围为(-1,8).(3)设点P(t,-13t3+2at2-2t)是函数y=f(x)图象上的切点,则过点P的切线的斜率为k=f'(t)=-t2+at-2,所以过点P的切线方程为y+13t3-2at2+2t=(-t2+at-2)(x-t).因为点10,3在切线上,所以-13+13t3-2at2+2t=(-t2+at-2)(0-t),即23t3-12at2+13=0.若过点10,3可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,则方程23t3-12at2+13=0有三个不同的实数解.令g(t)=23t3-12at2+13,则函数y=g(t)与t轴有三个不同的交点.令g'(t)=2t2-at=0,解得t=0或t=2a.因为g(0)=13,g2a=-124a3+13,所以必须g2a=-124a3+130,解得a2.所以实数a的取值范围为(2,+∞).关注细节当f(x)不含参数时,可通过解不等式f'(x)0或f'(x)0得到单调递增区间或单调递减区间.考向四利用导数研究函数的极值与最值1.利用导数研究函数极值的一般步骤(1)确定函数的定义域;(2)求导数f'(x);(3)①若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再检验f'(x)在方程根左右函数值的符号,求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论);②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况,从而求解.2.求函数y=f(x)在[a,b]上最值的步骤(1)求出函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【例4】(2012年凉山州高三第二次诊测)已知f(x)=13x3-ax2+(a2-1)x+b.(1)设a=1,求f(x)的极值;(2)y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程是x+y-3=0.求f(x)在[-2,4]上的最大值;(3)a≠0时,若f(x)在区间(-1,1)上不是单调函数,求a的取值范围.解:(1)a=1时,f'(x)=x2-2x=x(x-2).令f'(x)0,则x2或x0;令f'(x)0,则0x2.∴f(x)在(0,2)上是减函数,在(-∞,0),(2,+∞)上是增函数,∴f(x)极大值=f(0)=b,f(x)极小值=f(2)=b-43.(2)f(x)在(1,f(1))处的切线方程是x+y-3=0,∴(1,f(1))在x+y-3=0上,∴f(1)=2,f'(1)=-1,∴2211231211aabaa,解得183ab,∴f(x)=13x3-x2+83,∴f'(x)=x2-2x.令f'(x)=0,x=0与x=2是f(x)