高考数学复习 第2讲 三角恒等变换与解三角形课件

高考真题自测热点考向突破高考动向剖析第2讲三角恒等变换与解三角形体验高考1.(2013年高考大纲全国卷,文2)已知α是第二象限角,sinα=135,则cosα等于(A)(A)-1312(B)-135(C)135(D)1312解析:因α是第二象限角,所以cosα0.由三角函数同角关系式知cosα=-2sin1=-1312.故选A.高考真题自测—夯基础提速度2.(2012年高考重庆卷,文5)17cos30cos17sin47sin等于(C)(A)-23(B)-21(C)21(D)23解析:17cos30cos17sin47sin=17cos30cos17sin)3017sin(=17cos30cos17sin30sin17cos30cos17sin=17cos30sin17cos=sin30°=21.故选C.3.(2011年高考四川卷,文8)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是(C)(A)6,0π(B)ππ,6(C)3,0π(D)π,π3解析:由已知及正弦定理得a2≤b2+c2-bc,即2222bcabc≥21,∴cosA≥21,∵0Aπ,∴0A≤3π,故选C.4.(2012年高考北京卷,文11)在△ABC中,若a=3,b=3,∠A=π3,则∠C的大小为.解析:法一由正弦定理得sinB=aAbsin=3233=21,∵ab,∴AB,∴0B3π,∴B=6π,∴C=π-A-B=2π.法二在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得32=(3)2+c2-23·c·cos3π,∴c2-3c-6=0,解得c=23或c=-3(舍去),∴c=23,∵a2+b2=c2,∴∠C=2π.答案:2π感悟备考1.命题与备考高考对本部分的考查通常是利用诱导公式、和、差、倍角公式等三角恒等变换的知识进行化简、求值或利用正、余弦定理解三角形.其中,切化弦、角的变换及边角转化是常考的三角变换思想,解三角形常与三角函数、平面向量相结合命题.在备考中要熟练掌握诱导公式、和、差、倍角公式及其它们之间的联系.2.小题快做熟练进行角的变换、边角关系的转化是快速解决三角函数化简求值、解三角形小题的关键,同时注意方程思想的运用.该类真题平时练习中要达到1分钟内准确求解.考向一三角函数的化简求值1.热点内容求解三角恒等变换问题的一般思路为“五遇六想”,即遇正切,想化弦;遇多元,想消元;遇差异,想联系;遇高次,想降次;遇特角,想求值;想消元,引辅角.2.问题引领(1)已知cosπ4a=a(0≤a≤1),如何求sin2α?(2)常见角的变换有哪些?热点考向突破—讲策略促迁移答案:(1)利用诱导公式变换角求解:sin2α=-cos4π2=-14πcos22=1-2a2.(2)α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(α+β)-(β-α)等.【例1】(1)若4sin2cosπ=21,则sin2α的值为()(A)-87(B)87(C)-74(D)74(2)若sinα+cosα=51,α∈(0,π),则sinα-cosα的值为.解析:(1)4sin2cosπ=4sincos4cossinsincos22ππ=2(cosα-sinα)=21,即cosα-sinα=42,等式两边分别平方得cos2α-2sinαcosα+sin2α=1-sin2α=81,解得sin2α=87.故选B.(2)法一由sinα+cosα=51得(sinα+cosα)2=251,∴sinαcosα=-2512,∵α∈(0,π),∴sinα0,cosα0,∴sinα-cosα0,∴sinα-cosα=2cossin=cossin21=57.法二∵α∈(0,π),∴由1cossin,51cossin22得4sin,53cos5，∴sinα-cosα=54-53=57.答案:(1)B(2)57关注细节此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”,即一看角的差异,二看名称的差异,三看结构形式的差异,然后多角度利用三角函数公式(如正用、逆用、变形用)求解.热点训练1若β=α+30°,则sin2α+cos2β+sinαcosβ等于()(A)41(B)43(C)cos2β(D)sin2α解析:将β=α+30°代入sin2α+cos2β+sinαcosβ,得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=sin2α+(cosαcos30°-sinαsin30°)2+sinα(cosαcos30°-sinαsin30°)=sin2+sin21cos23sinsin21cos23=sin2α+sin21cos23sin21cos23=sin2α+2cos23-2sin21=sin2α+43cos2α-41sin2α=43(sin2α+cos2α)=43.故选B.考向二利用三角恒等变换研究三角函数的图象、性质解决此类问题的关键是灵活利用二倍角公式及辅助角公式将函数解析式转化为y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)的形式,再求解.【例2】(2012年高考四川卷)已知函数f(x)=cos22x-sin2xcos2x-21.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f(α)=1023,求sin2α的值.解:(1)由已知,f(x)=cos22x-sin2xcos2x-21=21(1+cosx)-21sinx-21=21cosx-21sinx=22cos4πx,所以f(x)的最小正周期为T=2π,值域为2222，.(2)由(1)知,f(α)=22cos4π=1023,所以cos4π=53,所以sin2α=-cos22π=-cos24π=1-2cos24π=1-2518=257.热点训练2已知函数f(x)=3sinxcosx-cos2x+21(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间4,0π上的函数值的取值范围.解:(1)∵f(x)=3sinxcosx-cos2x+21=23sin2x-21cos2x=sin62πx,∴f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)当x∈4,0π时,2x-6π∈36π，π,∴-21≤sin62πx≤23.故所求的取值范围为23,21.考向三解三角形在解三角形问题中,灵活利用正、余弦定理,实现边角关系的互化是化解难点的有效方法,然后利用方程思想求出三角形中的其他元素,达到解三角形的目的.【例3】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=1,b=2,cosC=41.(1)求△ABC的周长;(2)求cos(A-C)的值.解:(1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×41=4,∴c=2.∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.(2)∵cosC=41,且0Cπ∴0C2π,sinC=C2cos1=415.由正弦定理得sinA=cCasin=2415=815.∵ac,∴AC2π,∴cosA=A2sin1=87,∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=87×41+815×415=1611.关注细节(1)利用正弦定理将角的正弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,用c替换sinC.sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分.(2)求角的大小一定要有两个条件:①角的范围;②角的某一三角函数值.用三角函数值判断角的大小时,一定要注意角的范围及三角函数的单调性.热点训练3(2012年高考新课标全国卷)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为3,求b,c.解:法一(1)由余弦定理知cosC=abcba2222,代入acosC+3asinC-b-c=0,得bcba2222+3asinC=b+c,∴23absinC=b2+c2-a2+2bc(*)两边同除2bc可得3sinaCc=cosA+1.又由正弦定理知ca=CAsinsin,∴3sinA=cosA+1,即cosA=3sinA-1,又sin2A+cos2A=1,∴sinA=23,cosA=21.∴A为锐角且A=3π.(2)∵S△ABC=21absinC=3,∴absinC=23,又a=2,∴(*)式可化为12=(b+c)2-4,∴b+c=4.又由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,∴b2+c2-bc=4,∴(b+c)2-3bc=4,∴bc=4,∴b=c=2.法二(1)由acosC+3asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0,∵B=π-A-C,∴3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0,由于sinC≠0,∴sin6πA=21.又0Aπ,故A=3π.(2)△ABC的面积S=21bcsinA=3,故bc=4,①而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8,②由①②解得b=c=2.解三角形与等比(等差)数列的综合【典例】(2012年高考辽宁卷,文17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列.(1)求cosB的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值.高考动向剖析—重思维深挖掘解:(1)由已知2B=A+C且A+B+C=180°,所以B=60°,所以cosB=21.(2)法一由已知得b2=ac,cosB=21,根据正弦定理得sin2B=sinAsinC,所以sinAsinC=1-cos2B=43.法二由已知得b2=ac,cosB=21,根据余弦定理得cosB=acbca2222=acacca222=21,解得a=c,又B=60°,所以A=B=C=60°,故sinAsinC=43.专家寄语数列与解三角形知识的综合,主要是指三角形三内角成等差数列(此时必有一内角为60°),三角形三边成等差数列或等比数列.此类问题的求解主要是根据题目特征,利用正、余弦定理进行边、角互化,在复习时,应注意这类问题的求解方法.【备选例题】【例1】已知向量a=(sinθ,2),b=(cosθ,1),且a∥b,其中θ∈2,0π.(1)求sinθ和cosθ的值;(2)若sin(θ-ω)=53,0ω2π,求cosω的值.解:(1)∵a=(sinθ,2),b=(cosθ,1),且a∥b,∴2sin=1cos,即sinθ=2cosθ.∵sin2θ+cos2θ=1,θ∈2,0π,∴sinθ=552,cosθ=55.(2)∵0ω2π,0θ2π,∴-2πθ-ω2π.∵sin(θ-ω)=53,∴cos(θ-ω)=2sin1=54,∴cosω=cos[θ-(θ-ω)]=cosθcos(θ-ω)+sinθsin(θ-ω)=552.【例2】已知函数f(x)=m·n,m=(sinωx+cosωx,3cosωx),n=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω0,且函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离不小于2π.(1)求ω的取值范围;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A