中考复习微专题----辅助圆问题及题例(二)

中考复习微专题----辅助圆问题及题例（二）模型3：直角对直径【基本模型】：半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，△ABC中，∠C＝90°，AB为⊙O的直径。【基本模型】：90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹圆是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)．【问题呈现】：如图，已知线段AB.请在图中画出使∠APB＝90°的所有点P。【问题解析】：因为半圆(直径)所对的圆周角是90°;所以使∠APB＝90°的所有点P的轨迹就是以AB为直径的⊙O;OP【问题呈现】：如图，已知矩形ABCD，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.【问题解析】：因为半圆(直径)所对的圆周角是90°;所以在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P的轨迹，就是以BC为直径的⊙O与矩形ABCD的边的交点点E和点F;OEF解：如解图，点E、F即为所求点．【问题呈现】如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，则线段CQ的取值范围为_______．【问题解析】：因为半圆(直径)所对的圆周角是90°;所以要使∠CPQ＝90°,则点P的轨迹，就在以CQ为直径的⊙O上;连接OP,则CQ=2OP,要使CQ最小，则OP值最小，而当OP⊥AB时，OP值最小，利用已知条件可求得此时OP=𝟏𝟎𝟑,所以CQ最小值为𝟐𝟎𝟑.解：CQ的取值范围为𝟐𝟎𝟑≤𝑪𝑸≤𝟏𝟐．O当点Q运动到与点B重合时，此时点P满足CP⊥AB，所以CQ最大值为𝟏2.𝟐𝟎𝟑≤𝑪𝑸≤𝟏𝟐【问题呈现】：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形ABCD面积的最大值是________．【问题解析】：要使ABCD的面积最大，即满足AD与BC之间距离最大，∵BC所对的∠BDC＝90°,根据“直角对直径”模型可知：点D在以BC为直径的半圆O与上运动，如图，当点D运动到BC的中垂线与半圆的交点时，点D到BC的距离最大，此时△DBC为等腰直角三角形，点D到BC的距离为𝟏𝟐BC=2，;解：四边形ABCD面积的最大值=𝟏𝟐×𝟐+𝟒×𝟐=𝟔．6如图,在Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP,求线段CP的最小值。O解：如图，取AB的中点O,以AB为直径作⊙O,∵AP⊥BP，点P定为⊙O上的点，连结OC,交⊙O于点P。在Rt△OBC中,由勾股定理得：OC=𝑶𝑩𝟐+𝑩𝑪𝟐=3𝟐+𝟒𝟐=𝟓∵点C在⊙O外，点P是OC与⊙O的交点,∵AB=𝟔cm,∴⊙O的半径OB=3cm,∴此时，线段PC即为最小值,∴PC=OC−𝑶𝑷=𝟓−𝟑=𝟐如图,已知正方形ABCD的边长为4cm.点M和N分别从B,C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动。连接AM和BN交于点P,求PC长的最小值。解：如图，当AM⊥AN时，取AB的中点O,以AB为直径作⊙O,连结OC,交⊙O于点P。在Rt△OBC中,由勾股定理得：OC=𝑶𝑩𝟐+𝑩𝑪𝟐=𝟐𝟐+𝟒𝟐=𝟐𝟓∵点C在⊙O外，点P是OC与⊙O的交点,∵AB=BC=𝟒cm,∴⊙O的半径OB=2cm,O∴此时，线段PC即为最小值,∴PC=OC−𝑶𝑷=𝟐𝟓−𝟐（有90°角的动点问题时可考虑“直角对直径”构建辅助圆来加以解决）【基本模型】：半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，△ABC中，∠C＝90°，AB为⊙O的直径。【基本模型】：90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹圆是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)．模型3：直角对直径本节课你的收获是什么？