中考复习微专题----利用中线平分图形面积

中考复习微专题----利用中线平分图形面积利用三角形中线平分图形面积【基本模型】：过不规则三角形顶点的直线平分面积：直接作三角形的中线.如图，AD为△ABC的中线，则𝑺△𝑨𝑩𝑫=𝑺△𝑨𝑪𝑫，同理BE、CF也平分△ABC的面积，且三条中线六等分△ABC的面积。EF𝑺△𝑨𝑩𝑫=𝑺△𝑨𝑪𝑫𝑺△𝑨𝑩𝑬=𝑺△𝑩𝑪𝑬𝑺△𝑨𝑪𝑭=𝑺△𝑩𝑪𝑭利用三角形中线平分图形面积【基本模型】：过不规则三角形边上一点（非顶点）的直线平分面积：如图，点D为边AB上一点，选择点D所在边距离较近的顶点A作△ABC的中线AE，连接DE,作MA∥DE交BC于点M,连接DM,DM即为所求。𝑺△𝑨𝑩𝑬=𝑺△𝑨𝑪𝑬=𝟏𝟐𝑺△𝑨𝑩𝑪𝑺△𝑨𝑴𝑫=𝑺△𝑨𝑴𝑬⇒𝑺四边形𝑨𝑪𝑴𝑫=𝑺△𝑩𝑫𝑴=𝟏𝟐𝑺△𝑨𝑩𝑪EM∵AE为中线⇒∵AM∥DE⇒又∵𝑺△𝑨𝑪𝑬=𝑺△𝑨𝑴𝑪+𝑺△𝑨𝑴𝑬=𝑺△𝑨𝑴𝑪+𝑺△𝑨𝑴𝑫=𝑺四边形𝑨𝑪𝑴𝑫=𝟏𝟐𝑺△𝑨𝑩𝑪【问题描述】：如图，已知一块Rt△ABC花园中，∠BAC=90°,AC=40米，BC=50米，AD为花园内平分花园面积的一条小路（小路宽度忽略不计），现在要从AB边上的水源点E处向BC边上拉一条笔直的水管，且要使得水管两边的花地面积相等，已知E点距离A点10米，现有与AB等长的水管，问该水管是否够用？【问题解析】：本题的实质是求过点E平分△ABC面积的线段的长，我们可先用掌握的方法过点E作出平分△ABC面积的线段EF;┛FG再借助已知条件来求出线段EF的长。过点E作EG⊥BC,利用直角三角形和相似三角形的知识来求解的长。平分“不规则四边形”面积的基本方法模型：【基本模型】：过不规则四边形顶点的直线平分面积：如图，连结AC,过点D作DE∥AC,连结AE,则将四边形ABCD面积转化为等面积的△ABE,△ABE的中线AP即为所求。EP𝑺△𝑨𝑫𝑪=𝑺△𝑨𝑬𝑪⇒𝑺△𝑨𝑩𝑬=𝑺四边形𝑨𝑩𝑪𝑫𝑺△𝑨𝑩𝑷=𝑺△𝑨𝑷𝑬=𝟏𝟐𝑺△𝑨𝑩𝑬∵AP为△ABE的中线⇒∴𝑺△𝑨𝑩𝑷=𝟏𝟐𝑺四边形𝑨𝑩𝑪𝑫即，线段AP平分四边形ABCD面积平分“不规则四边形”面积的基本方法模型：【基本模型】：过不规则四边形边上一点（非顶点）的直线平分面积：如图，连结PB,PC,过点D作DE∥PC,交BC于点E,过点A作AF∥PB,交BC于点F,分别连结PE,PF,则将四边形ABCD面积转化为等面积的△PEF,△PEF的中线PG即为所求。EG𝑺△𝑷𝑫𝑪=𝑺△𝑷𝑬𝑪⇒𝑺△𝑷𝑮𝑬=𝑺四边形𝑷𝑮𝑪𝑫𝑺△𝑷𝑮𝑬=𝑺△𝑷𝑮𝑭=𝟏𝟐𝑺△𝑷𝑬𝑭∵PG为△PEF的中线⇒∴𝑺四边形𝑷𝑮𝑪𝑫=𝑺△𝑷𝑮𝑬=𝟏𝟐𝑺△𝑷𝑬𝑭=𝟏𝟐𝑺四边形𝑨𝑩𝑪𝑫即，线段PG平分四边形ABCD面积F𝑺△𝑷𝑩𝑨=𝑺△𝑷𝑩𝑭⇒𝑺△𝑷𝑮𝑭=𝑺四边形𝑷𝑮𝑩𝑨⇒𝑺△𝑷𝑬𝑭=𝑺四边形𝑨𝑩𝑪𝑫【问题描述】如图，有一块四边形菜地ABCD,AB=BC=6,AD=CD=8,∠A=∠C=90°,点P在边AD上，AP=1,现在准备过点P修一条笔直的小路l(其占地面积不计)，时其平分四边形ABCD的面积，设l与四边形ABCD的边交于点Q,画出满足条件的l.并求CQ的长。【问题解决】第一步：连结AC,过点B作BE∥AC,交DC延长线于点E,将四边形ABCD转化为等面积的△ADE;GEQl第二步：过点A作△ADE的中线AG,平分△ADE的面积;第三步：过点P作直线l平分△ADE,交DC边于点Q。第四步：连结BD,可证∠DBE=90°,再利用直角三角形的知识求得DE的长度，进而求得DG长度；由PG∥AQ求得DQ长度；最后用CD−DQ得解。【知识归纳】：本专题主要探究了过一点（顶点或非顶点）平分不规则三角形和不规则四边形的面积的方法，主要借助于“作三角形的中线平分三角形面积”以及“平行线间同底的两个三角形面积相等”的知识，用转化的思想方法从而平分图形的面积。后面我们还会探究：借助中心对称的性质过一点平分特殊三角形（等腰三角形、等边三角形等）和特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形等）的面积方法。本节课你的收获是什么？