27.2.2点与圆的关系(二)-----点圆最值问题

第27章圆27.2.2----点和圆的位置关系（二）点圆最值问题点与圆的位置关系有三种：如图：点和圆的位置关系有哪几种？方法总结：判断点和圆的位置关系,就是判断点到圆心O的距离与半径的大小关系.点和圆的位置关系观察探究：（一）点在圆上⇔AM点A到圆心的距离OA=半径RP（二）点在圆内⇔点M到圆心的距离OM半径R（三）点在圆外⇔点P到圆心的距离OP半径R“符号⇔”读作“等价于”，它表示从“符号⇔”的左端可以得到右端;从“符号⇔”右端也可以得到左端．（4）经过不在同一直线上的三点A,B,C可以作圆，且只能作一个圆。经过已知点的圆（3）经过在同一直线上的三点A,B,C无法画圆。（2）经过两个点也能作出无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上。（1）经过已知一点作圆，能作无数个圆。观察可发现，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个。经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。△ABC的外接圆⊙O的圆心叫做△ABC的外心。△ABC叫做⊙O的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。点与圆的基本关系：当点在圆上点到圆心的距离=半径R“定点与圆上一动点距离的最值”问题：如图，点P为平面上一定点（圆外或圆内），动点A在⊙O上，则动点A分别运动到⊙O什么位置时，线段PA取得最小值和最大值？“定点与圆上一动点距离的最值”情况一：如图，点P为平面上一定点（圆外），动点A在⊙O上，则动点A分别运动到⊙O什么位置时，线段PA取得最小值和最大值？𝑨𝟏𝑨𝟐过圆心O和点P作直线OP，得到直线OP与⊙O的近交点𝑨𝟏和远交点𝑨𝟐，点P到圆上所有点距离中的最小值即为线段P𝑨𝟏的长.解：如图，连结PA,OA,可得△OAP。∵在△OAP中,𝐏𝐀+𝑶𝑨𝑷𝑶∴𝐏𝐎𝑶𝑨+𝑷𝑨,即：𝐎𝑨𝟏+𝑷𝑨𝟏𝑶𝑨+𝑷𝑨,又∵𝐎𝑨𝟏=𝑶𝑨∴总有𝑷𝑨𝟏𝑷𝑨,即：P𝑨𝟏总小于线段PA点P到圆上所有点距离中最小值即为线段P𝑨𝟏的长“定点与圆上一动点距离的最值”情况一：如图，点P为平面上一定点（圆外），动点A在⊙O上，则动点A分别运动到⊙O什么位置时，线段PA取得最小值和最大值？𝑨𝟏𝑨𝟐过圆心O和点P作直线OP，得到直线OP与⊙O的近交点𝑨𝟏和远交点𝑨𝟐，点P到圆上所有点距离中的最大值为线段P𝑨𝟐的长.解：如图，连结PA,OA,可得△OAP。∵在△OAP中,𝐏𝐎+𝑶𝑨𝑷A即：𝑷𝑶+𝑶𝑨𝟐𝑷𝑨,又∵𝐎𝑨𝟐=𝑶𝑨∴𝑷𝑨𝟐𝑷𝑨,即：P𝑨𝟐总大于线段PA点P到圆上所有点距离中最大值即为线段P𝑨2的长“定点与圆上一动点距离的最值”情况二：如图，点P为平面上一定点（圆内），动点A在⊙O上，则动点A分别运动到⊙O什么位置时，线段PA取得最小值和最大值？𝑨𝟏𝑨𝟐过圆心O和点P作直线OP，得到直线OP与⊙O的近交点𝑨𝟏和远交点𝑨𝟐，点P到圆上所有点距离中的最小值即为线段P𝑨𝟏的长，最大值为线段P𝑨𝟐的长.解：如图，连结OA,可得△OAP。∵在△OAP中,𝐏𝐀𝑶𝑨−𝑷𝑶∴𝐏𝐀𝑶𝑨𝟏−𝑷𝑶,又∵𝐎𝑨𝟏=𝑶𝑨即：P𝑨𝟏总小于线段PA∴𝑷𝑨𝑷𝑨𝟏,点P到圆上所有点距离中最小值即为线段P𝑨𝟏的长“定点与圆上一动点距离的最值”情况二：如图，点P为平面上一定点（圆内），动点A在⊙O上，则动点A分别运动到⊙O什么位置时，线段PA取得最小值和最大值？𝑨𝟏𝑨𝟐过圆心O和点P作直线OP，得到直线OP与⊙O的近交点𝑨𝟏和远交点𝑨𝟐，点P到圆上所有点距离中的最小值即为线段P𝑨𝟏的长，最大值为线段P𝑨𝟐的长.解：如图，连结PA,OA,可得△OAP。点P到圆上所有点距离中最大值即为线段P𝑨2的长∵在△OAP中,𝐏𝐎+𝑶𝑨𝑷A即：𝑷𝑶+𝑶𝑨𝟐𝑷𝑨,又∵𝐎𝑨𝟐=𝑶𝑨∴𝑷𝑨𝟐𝑷𝑨,即：P𝑨𝟐总大于线段PA过圆心O和点P作直线OP，得到直线OP与⊙O的近交点𝑨𝟏和远交点𝑨𝟐，点P到圆上所有点距离中的最小值即为线段P𝑨𝟏的长，最大值为线段P𝑨𝟐的长.“定点与圆上一动点距离的最值”问题：如图，点P为平面上一定点（圆外或圆内），动点A在⊙O上，则动点A分别运动到⊙O什么位置时，线段PA取得最小值和最大值？𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝟏𝑨𝟐一定点到圆上各动点的连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短，远交点距离最长.如图,已知正方形ABCD的边长为4cm.点M和N分别从B,C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动。连接AM和BN交于点P,求PC长的最小值。解：如图，当AM⊥AN时，取AB的中点O,以AB为直径作⊙O,连结OC,交⊙O于点P。点圆最值问题在Rt△OBC中,由勾股定理得：OC=𝑶𝑩𝟐+𝑩𝑪𝟐=𝟐𝟐+𝟒𝟐=𝟐𝟓∵点C在⊙O外，点P是OC与⊙O的交点,∵AB=BC=𝟒cm,∴⊙O的半径OB=2cm,O∴此时，线段PC即为最小值,∴PC=OC−𝑶𝑷=𝟐𝟓−𝟐点圆最值问题（1）一定点到圆上各动点的连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短，远交点距离最长.这个规律是和圆有关的求线段最值的经典模型，模型运用时要注意：定点可以在圆内，也可以在圆外，动点在圆（或弧）上运动，所求的是定点与圆（或弧）上一动点距离最小值和最大值问题.(2)实际问题中，动点所在的圆并不直接给出，需要学生自己去构造，所以在分析动点位置变化时，要抓住图形中的不变量，如若发现动点到某定点的距离等于定长或者动点对定线段所成的张角是定角时，则要意识到此动点的运动轨迹是圆（或圆弧），这会对求最值起到决定性的作用.如图,在Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP,求线段CP的最小值。点圆最值问题O解：如图，取AB的中点O,以AB为直径作⊙O,∵AP⊥BP，点P定为⊙O上的点，连结OC,交⊙O于点P。在Rt△OBC中,由勾股定理得：OC=𝑶𝑩𝟐+𝑩𝑪𝟐=3𝟐+𝟒𝟐=𝟓∵点C在⊙O外，点P是OC与⊙O的交点,∵AB=𝟔cm,∴⊙O的半径OB=3cm,∴此时，线段PC即为最小值,∴PC=OC−𝑶𝑷=𝟓−𝟑=𝟐过圆心O和点P作直线OP，得到直线OP与⊙O的近交点𝑨𝟏和远交点𝑨𝟐，点P到圆上所有点距离中的最小值即为线段P𝑨𝟏的长，最大值为线段P𝑨𝟐的长.“定点与圆上一动点距离的最值”问题：如图，点P为平面上一定点（圆外或圆内），动点A在⊙O上，则动点A分别运动到⊙O什么位置时，线段PA取得最小值和最大值？𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝟏𝑨𝟐一定点到圆上各动点的连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短，远交点距离最长.点圆最值问题（1）一定点到圆上各动点的连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短，远交点距离最长.这个规律是和圆有关的求线段最值的经典模型，模型运用时要注意：定点可以在圆内，也可以在圆外，动点在圆（或弧）上运动，所求的是定点与圆（或弧）上一动点距离最小值和最大值问题.(2)实际问题中，动点所在的圆并不直接给出，需要学生自己去构造，所以在分析动点位置变化时，要抓住图形中的不变量，如若发现动点到某定点的距离等于定长或者动点对定线段所成的张角是定角时，则要意识到此动点的运动轨迹是圆（或圆弧），这会对求最值起到决定性的作用.方法归纳：本节课你的收获是什么？