2019-2020学年度北师大版八年级上册一次函数与等腰三角形存在性专题(-解析版)

12019-2020一次函数与等腰三角形存在性专题（含解析）一、单选题1．一次函数𝑦=43𝑥+4分别交𝑥轴、𝑦轴于𝐴，𝐵两点，在𝑦轴上取一点𝐶，使𝛥𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，则这样的点𝐶最多有几个（）A.5B.4C.3D.22．如图，直线y=−√3x+√3与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为（）A.2B.4C.6D.83．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．6B．5C．4D．34．在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)，点B(4，0)，若点C在一次函数122yx的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（）A.5个B.4个C.3个D.2个2二、填空题5．如图，一次函数1yx的图象与x轴、y轴分别交于点AB、，点M在x轴上，要使ABM是以AB为腰的等腰三角形，那么点M的坐标是_____．6．如图，已知直线334yx与坐标轴相交于A、B两点，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，当点P的运动时间是__________秒时，PAB是等腰三角形．三、解答题7．已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；3（2）在x轴上能否找到一点M，使△AOM是等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线24yx与x轴，y轴分别交于点A，点B。（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P在x轴上，且BOP1SAOB2求点P的坐标。（3）在y轴是否存在点M，使三角形MAB是等腰三角形，若存在。请求出点M坐标，若不存在，请说明理由。9．如图，直线l1：443yx分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴上任意一点，直线l2：34yxb经过点C，且与直线l1交于点D，与y轴交于点E，连结AE．(1)当点C的坐标为(2,0)时，①求直线l2的函数表达式；②求证：AE平分BAC；(2)问：是否存在点C，使ACE△是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；4若不存在，请说明理由．10．已知，如图直线l1的解析式为y=x+1，直线2l的解析式为(0)yaxba；这两个图象交于y轴上一点C，直线2l与x轴的交点B（2，0）．（1）求a、b的值；（2）动点P从点B出发沿x轴以每秒1个单位长的速度向左移动，设移动时间为t秒，当△PAC为等腰三角形时，直接写出t的值．11．如图，在平面直角坐标系中，△OAB是直角三角形，点A在y轴上，点B在x轴上，AC分∠BAO交X轴于点C，且A点坐标为（0，6），B点坐标为（8，0）.（1）求AB的解析式（2）求点C坐标（3）在直线AC上是否存在点M，使BCM为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存5在，请说明理由。12．如图，在直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.（1）直接写出A点的坐标__________；（2）当x__________时，y≤4；（3）过B点作直线BP与x轴相交于P，若OP=2OA时，求ΔABP的面积；(4)在y轴上是否存在E点，使得ΔABE为等腰三角形,若存在，直接写出满足条件的E点坐标.13．若直线ymx8和ynx3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C．（1）写出A、C两点的坐标，A，C；（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线AB和CB的解析式；（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y轴于E，若△ABE为等腰三角形，写点E的坐标（只写结果）．14．如图，已知直线l1：4y3xn与x轴交于点B，直线2l2:m3yx与y轴交于点C，且它们都经过点D（1，8-3）6（1）求C、B两点的坐标；（2）设点P（t,0）,且t3,如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在第四象限内，以CP为腰作等腰直角三角形△CPQ，请直接写出点Q的坐标.15．综合与探究：如图，直线𝑦=𝑘𝑥−2与𝑥轴，𝑦轴分别交于𝐵，𝐶两点，其中𝑂𝐵=1.(1)求𝑘的值；(2)若点𝐴(𝑥,𝑦)是直线𝑦=𝑘𝑥−2上的一个动点，当点𝐴仅在第一象限内运动时，试写出𝛥𝐴𝑂𝐵的面积𝑆与𝑥的函数关系式；(3)探索：①在(2)条件下，当点𝐴运动到什么位置时，𝛥𝐴𝑂𝐵的面积是1；②在①成立的情况下，在𝑥轴上是否存在一点𝑃，使△𝛥𝑃𝑂𝐴是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有𝑃点的坐标；若不存在，请说明理由.716．如图，直线12yxb(0b)交x轴于点A，交y轴于点B.(1)求点,AB的坐标(用含b的代数式表示)(2)若点P是直线AB上的任意一点，且点P与点O距离的最小值为4，求该直线表达式；(3)在(2)的基础上，若点C在第一象限，且ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标.参考答案1．B【解析】【分析】首先根据题意，求得𝐴与𝐵的坐标，然后利用勾股定理求得𝐴𝐵的长，再分别从𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐶去分析求解，即可求得答案．【详解】解：∵当𝑥=0时，𝑦=4，当𝑦=0时，𝑥=−3，∴𝐴(−3,0)，𝐵(0,4)，∴𝐴𝐵=√𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=5，①当𝐴𝐵=𝐵𝐶时，𝑂𝐴=𝑂𝐶，∴𝐶1(3,0)；②当𝐴𝐵=𝐴𝐶时，𝐶2(−8,0)，𝐶3(2,0)，③当𝐴𝐶=𝐵𝐶时，设𝐶的坐标是(𝑎,0)，𝐴(−3,0)，𝐵(0,4)，∵𝐴𝐶=𝐵𝐶，由勾股定理得：(𝑎+3)2=𝑎2+42，解得：𝑎=76，∴𝐶的坐标是(76，0)，∴这样的点𝐶最多有4个．故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、一次函数的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．2．C【解析】【分析】根据题意可以划出相应的图形，然后写出各种情况下的等腰三角形，即可解答本题．【详解】如图所示，当BA=BP1时，△ABP1是等腰三角形，当BA=BP2时，△ABP2是等腰三角形，当AB=AP3时，△ABP3是等腰三角形，当AB=AP4时，△ABP4是等腰三角形，当BA=BP5时，△ABP5是等腰三角形，当P6A=P6B时，△ABP6是等腰三角形，故选C．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答，注意一定要考虑全面．3．D【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C1，即可求得C的坐标，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，过点B作BD⊥直线y=x，垂足为D，则△OBD是等腰直角三角形，根据勾股定理求出点B到直线y=x的距离为32，由32＞4，可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，据此即可求得答案.【详解】如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A(0，2)，B(0，6)，∴AB=6﹣2=4，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，过点B作BD⊥直线y=x，垂足为D，则△OBD是等腰直角三角形，∴BD=OD，∵OB=6，BD2+OD2=OB2，∴BD=32，即点B到直线y=x的距离为32，∵32＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，综上所述，点C的个数是1+2=3，故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，勾股定理的应用，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．4．B【解析】【分析】设C（m，-12m+2）．构建方程即可解决问题.【详解】设C（m，-12m+2）①当CA=CB时，点C在线段AB的垂直平分线上，此时C（0，2）．②当AC=AB时，（m+4）2+（-12m+2）2=64，解得：m=4，或m=-8.8，∴C（4，0）（舍去）或（-8.8，6.4）；③当BC=AB时，（m-4）2+（-12m+2）2=64，解得m=121655，∴C（121655，4855）或（121655，4855）；综上所述，满足条件的点有4个，故选：B．【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．(21,0)(21,0)、或(1,0)．【解析】【分析】分别令一次函数y=-x+1中x=0、y=0，求出点A、B的坐标，设出点M的坐标，根据两点间的距离公式表示出AB、AM和BM的长度，分AB=BM与AB=AM两种情况来考虑，由此可得出关于m的方程，解关于m的方程即可得出结论．【详解】令一次函数1yx中0y，则10x，解得1x，点A的坐标为1,0；令一次函数1yx中0x，则1y，点B的坐标为0,1．设点M的坐标为,0m，则2,1,ABAMm22010BMm，ABM是以AB为腰的等腰三角形分两种情况：①ABAM，即21m，解得：21m，或21m，此时点M的坐标为21,0或21,0；②ABBM，即232010m，解得：1m，或1m（舍去），此时点M的坐标为1,0．综上可知点M的坐标为21,021,0、或1,0．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，解题的关键是分AB=BM与AB=AM两种情况来考虑．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，有两点间的距离公式表示出三角形三边长度，再根据等腰三角形的性质找出关于m的方程是关键．6．78或9．【解析】【分析】分情况,当AB为腰时和当AB为底时两种情况分析即可.【详解】∵直线y＝334x与坐标轴相交于A、B两点，∴当x=0时,y=3,当y=0时,x=4,∴A(4,0),B(0,3),∴AB=2234=5,当AB为腰时,AP=AB=5,∴OP=OA+AP=4+5=9,∵动点P的速度为每秒1个单位长度,∴点P的运动时间是9秒;当AB为底时,AP=BP,设OP=x,则BP=4-x,根据勾股定理得3²+x²=(4-x)²,解得x=78,故OP=78,∴点P的运动时间是78秒.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建直角三角形解决交点坐标问题．7．（1）y＝﹣23x；（2）当点M的坐标为（﹣13，0）、（13，0）、（6，0）或（136，0）时，△AOM是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据点A的横坐标、△AOH的面积结合点A所在的象限，即可得出点A的坐标，再利用待定系数法即可求出正比例函数的表达式；（2）分OM＝OA、AO＝AM、OM＝MA三种情况考虑，①当OM＝OA时，根据点A的坐标可求出OA的长度，进而可得出点M的坐标；②当AO＝AM时，由点H的坐标可求出点M的坐标；③当OM＝MA时，设OM＝x，则MH＝3﹣x，利用勾股定理可求出x值，进而可得出点M的坐标．综上即可得出结论．【详解】解：（1）∵点A的横坐标为3，△AOH的面积为3，点A在第四象限，∴点A的坐标为（3，﹣2）．将A（3，﹣2）代入y＝kx，﹣2＝3k，解得：k＝﹣23，∴正比例函数的表达式为y＝﹣23x．（2）①当OM＝OA时，如图1所示，∵点A的坐标为（3，﹣2），∴OH＝3，AH＝2，OA＝22OHAH＝13，∴点M的坐标为（﹣13，0）或（13，0）；②当AO＝AM时，如图2所示，∵点H的坐标为（3，0），∴点M的坐标为（6，0）；③当OM＝MA时，设OM