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圆的练习题一．选择题1．⊙O是△ABC的外接圆，直线EF切⊙O于点A，若∠BAF=40°，则∠C等于()A、20°B、40°C、50°D、80°2．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么∠APC等于()3．某工件形状如图所示，圆弧BC的度数为，AB＝6厘米，点B到点C的距离等于AB，∠BAC＝，则工件的面积等于()(A)4π(B)6π(C)8π(D)10π4．下列语句中正确的是()(1)相等的圆心角所对的弧相等；(2)平分弦的直径垂直于弦；(3)长度相等的两条弧是等弧；(4)经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．如图，两个等圆⊙O和⊙的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于()(A)(B)(C)(D)6．如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是()(A)π(B)1.5π(C)2π(D)2.5π7.在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S，那么S∶S()(A)2∶3(B)3∶4(C)4∶9(D)5∶128．圆锥的母线长为13cm,底面半径为5cm,则此圆锥的高线长为()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm9．已知⊙O1和⊙O2相外切，它们的半径分别是1厘米和3厘米．那么半径是4厘米，且和⊙O1、⊙O2都相切的圆共有()(A)1个(B)2个(C)5个(D)6个10．已知圆的半径为6.5厘米，如果一条直线和圆心距离为6.5厘米，那么这条直线和这个圆的位置关系是()(A)相交(B)相切(C)相离(D)相交或相离二．填空题1．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P，CD＝10cm，AP︰PB＝1︰5．则：⊙O的半径为。2．如图，⊙O1，⊙O2交于两点，点O1在⊙O2上，两圆的连心线交⊙O1于E，D，交⊙O2于F，交AB于点C。请你根据图中所给出的条件(不再标注其它字母，不再添加任何辅助线)，写出两个线段之间的关系式：(1)；(2)；(半径相等除外)3．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，AB=8cm，PD=2cm则CP=______cm。4．两圆半径分别为5厘米和3厘米，如果圆心距为3厘米，那么两圆位置关系是_______。5．相交两圆的公共弦长为6，两圆的半径分别为3、5，则这两圆的圆心距等于_____。6．正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为()厘米。7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA为半径的圆并AB于D，则的度数是_________。8．如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有。9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝，则∠BCD＝。10．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为。三、如图，制作铁皮桶，需在一块三角形余料上截取一个面各最大的圆，请画出该圆。四．计算与证明1．如图所示，某部队的灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A点2km的A处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条射线方向航行？2．如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB是直径。(1)请你添加一个条件，使图中的四边形ABCD成等腰梯形，这个条件是(只需填一个条件)。(2)如果，请你设计一种方案，使等腰梯形ABCD分成面积相等的三部分，并给予证明。3．已知：如图，△ABC内接于⊙O1，AB＝AC，⊙O2与BC相切于点B，与AB相交于点E，与⊙O1相交于点D，直线AD交⊙O2于点F，交CB的延长线于G．求证：(1)∠G＝∠AFE；(2)AB·EB＝DE·AG．4.如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D。(1)若∠B=30°，问：AB与AP是否相等？请说明理由；(2)求证：PD·PO=PC·PB；(3)若BD∶DC=4∶1，且BC=10，求PC的长.5.已知，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E，若AC＝10，tan∠DAE＝，求DB和DE的长。6．如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线．在上任取一点C(点C与A、B不重合)，过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连结BD，交CE于点F。(1)当点C为的中点时(如图a)，求证：CF＝EF；(2)当点C不是的中点时(如图b)，试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。7．已知：如图，⊙O2过⊙O1的圆心O1，且与⊙O1内切于点P，弦AB切⊙O2于点C，PA、PB分别与⊙O2交于D、E两点，延长PC交⊙O1于点F。求证：(1)BC2＝BE·BP；(2)∠1＝∠2；(3)CF2＝BE·AP。8．如图，已知：⊙O与⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于点E、F．EF与AC相交于点P。求证：(1)PA·PE＝PC·PF；(2)；(3)当⊙O与⊙O′为等圆，且PC︰CE︰EP＝3︰4︰5时，求△ECP与△FAP的面积的比值。参考答案一.选择题B、B、B、A、C、B、A、D、C、B。二．填空题1．3cm．2.AC⊥EF，AC=BC，3.8，4.相交，5.1或76.12厘米，7.＝50°,8.4条，9.，10.∶∶1三．略。四．1．（提示：由条件点B在⊙A中内，要求点B到⊙A的最短距离，应连结AB，沿射线AB方向才能尽快驶离危险区）.解：该船应沿射线AB方向驶离危险区。证明：设射线AB与⊙A相交于点C，在⊙A上任取一点D（不包括C关于A的对称点），连结AD、BD。在△ABD中，AB＋BD＞AD，∵AD＝AC＝AB＋BC，∴AB＋BD＞AB＋BC，∴BD＞BC．2．证明：∵CD∥AB，CD=，∴，CD=AO，∴△CDO≌△AOD，（5分）同理，△CDO≌△BOC，（6分）∴S△AOD=S△BOC=S△CDO=S梯形ABCD.3．（1）连结BD．∵∠FEB＝∠FDB，∠FDB＝∠C．∴∠FEB＝∠C．又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∴∠FEB＝∠ABC．∴EF∥CG，∴∠G＝∠AFE．（2）连结BF．∵∠ADE＝∠ABF，∠DAE＝∠BAF．∴△ADE∽△ABF，∴．∵EF∥CG，∴，∴．∴．∵∠BEF＝∠ABC，∠ABC＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF．∴．∴AB·EB．4.解：（1）相等。连结AO，∵PA是半圆的切线，∴∠OAP＝90°.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∴∠AOB＝2∠B＝60°，∴∠APO＝30°，∴∠B＝∠APO，∴AB＝AP.（2）在Rt△OAP中，∵AD⊥OP，∴PA2＝PD·PO∵PA是半圆的切线，∴PA2＝PC·PB，∴PD·PO＝PC·PB。（3）∵BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，∴BD＝8，CD＝2，∴OD＝3∵OA2＝OD·OP，∴25＝3×OP，∴OP＝，∴PC＝5．解：连结OD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAE＝∠DCB，∵AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，∴DB＝2DM，＝，∴∠1＝∠2，AD＝AB，又∠3＝2∠1，∴∠3＝∠BCD＝∠DAE．∴tan∠3＝tan∠DAE＝，∵AC＝10，∴OD＝5，在Rt△ODM中，设DM＝4x，得OM＝3x，由勾股定理，得DM2＋OM2＝OD2．∴（4x）2＋（3x）2＝52．取正数解，得x＝1，∴OM＝3x＝3，DM＝4x＝4，∴DB＝2DM＝8．∵OM＝3，∴AM＝OA－OM＝2．在Rt△AMD中，由勾股定理，得AD＝＝2．∵ED是⊙O的切线，∴∠EDA＝∠EBD又∠EDA为公用角，∴△EDA∽△EBD．，∴＝＝，∴EA＝DE．∵DE2＝EA·EB＝EA（EA＋AB）＝EA（EA＋AD）＝EA2＋EA·AD．∴DE2＝（ED）2＋DE·2．解关于DE的方程，得DE＝．6．证明：（1）∵DA是切线，AB为直径，∴DA⊥AB，∵点C是的中点，且CE⊥AB，∴点E为半圆的圆心，又∵DC是切线，∴DC⊥EC．又∵CE⊥AB，∴四边形DAEC是矩形，∴CDAD，∴＝＝．即EF＝AD＝EC．∴F为EC的中点，CF＝EF．（2）CF＝EF，证明：连结BC，并延长BC交AP于G点，连结AC，∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC＝DA，∴∠DAC＝∠DCA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACG＝90°．∴∠G＋∠DAC＝∠DCA＋∠DCG＝90°．∴∠G＝∠DCG．∴在△GDC中，GD＝DC，又∵DC＝DA，∴GD＝DA，∵AP是半圆O的切线，∴AP⊥AB，又CE⊥AB，∴CE∥AP，∴＝＝．又GD＝AD，∴CF＝EF．7．证明：（1）连结CE，∵BC是⊙O2的切线，∴∠2＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△BCE∽△BPC，∴＝，∴BC2＝BE·BP．（2）作⊙O2与⊙O1的公切线PM，∵∠MPC＝∠CEP，∠MPA＝∠B，∴∠1＝∠MPC－∠MPA＝∠CEP－∠B．又∠CEP－∠B＝∠BCE，∴∠1＝∠BCE．又∵AB切⊙O2于C，∴∠BCE＝∠2，∴∠1＝∠2．（3）连结O1P、O1E、O1C．∵P是切点，∴O1P是⊙O2直径．∴O1E⊥PB．∴BE＝EP．同理．FC＝PC，在△ACP和△CEP中．∵AC是切线，∴∠ACP＝∠CEP，又∠1＝∠2，∴△ACP∽△CEP，∴，∴CF2＝AP·EP．∴CF2＝AP·BE．8.证明：（1）连结AB．∵CA切⊙O′于A点，∴∠CAB＝∠F．又∠CAB＝∠E，∴∠E＝∠F．又∠EPC＝∠EPA，∴△PEC∽△PFA，∴＝，∴PA·PE＝PC·PF．（2）在⊙O中，弦AC、BE相交于P点．∴PB·PE＝PA·PC，∵PA·PE＝PC·PF，①×②，得PE2·PB·PA＝PC2·PF·PA．∴．（3）连结AE，如图，由△PEC∽△PFA，PC︰CE︰EP＝3︰4︰5，∴PA︰FA︰PF＝3︰4︰5，设PC＝3x，CE＝4x，EP＝5x，PA＝3y，FA＝4y，PF＝5y．则EP2＝PC2＋CE2，PF2＝PA2＋FA2．∴∠C＝90°，∠CAF＝90°，∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O′的直径．又⊙O与⊙O′为等圆，∴AE＝AF＝4y．∵AC2＋CE2＝AE2．∴（3x＋2y）2＋（4x）2＝（4y）2．即25x2＋18xy－7y2＝0，（25x－7y）（x＋y）＝0∴25x＝7y，x＝－y（舍去）．∴＝∴S△ECP︰S△FAP＝x2︰y2＝49︰625．