理论力学小论文

2013理论力学小论文重心及其求法201X级车辆工程2班XXX指导老师：张伟摘要：在工程中，物体重心的位置具有重要意义。汽车、轮船、飞机的重心位置，对其行驶或飞行的稳定性有直接的影响;高速运转部件的重心如果不在轴线上，将引起机械的剧烈震动，因此必须了解重心的概念和重心位置的求法。一、重心的概念在地球表面附近的物体，它的每一部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物体其尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地将物体上这部分力系看作是空间平行力系，这个平行力系的合力的大小即为物体的重量，合力的作用点即为物体的重心。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。不规则物体的重心，不一定在物体上，其求法也是多样的。二、物体重心坐标公式2.1平行力系的中心平行力系合力作用点的位置仅与各平行力系的大小和作用位置有关，而与各平行力的方向无关。合力矩定理:2.2重心坐标的一般公式将物体分成许多微小部分n份,各微小部分所受到的地球引力（重力）以GnGGFFF21表示,各微小部分作用点坐标为)()()(222111nnnzyxzyxzyx212211FFrFrFrCiiCiFrrFiiCiFxxF则物体的重量为GinnGiGFFF1重心的坐标用（xC，yC，zC）表示，根据空间力系的合力矩定理，对x轴取矩，则iGinGnGGGxyFyFyFyFFM2211)(cGcGGxyFyFFM)(因iGiccyFyF则GiiGiGiGicFyFFyFy同理GiiGiGiGicFxFFxFxGiiGiGiGicFzFFzFz物体连同坐标轴转90度，而使坐标面oxz成为水平面，由重心的概念知，此物体重心的位置不变，再对x轴应用合力矩定理求Zc。体积为V。假想把物体分割成许多微小体积ΔVi，每个微小体积所受的重力为ΔFGi=γΔVi，其作用点坐标为（xi，yi，zi）。整个物体所受的重力为FG=∑△FGi。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式2.3、均质物体重心（形心）坐标公式对于均质物体（常把同一材料制成的物体称为均质物体），其容重γ为常量（物体每单位体积的重量），各微小部分的体积为nVVV21，整个物体的体积为V则有nGnCGVFVFVF211VFFGiG得VxVVxVxiiiiicVyVVyVyiiiiicVzVVzVziiiiic由上可知：①均质物体重心完全决定于物体的几何形状，而与物体的重量无关。②由物体的几何形状及尺寸所决定的物体的几何中心，称为形心，上式也是物体形心的坐标公式。③对于均质物体来说，形心与重心重合。2.4均质薄壳重心（形心）坐标公式由于薄壳的厚度远小于其它两个方向尺寸，可忽略厚度不计，则tAVtAVtAVnn211tAVii故形心公式为:iiiiiiiicAxAtAxtAVxVxiiiiiiicAyAtAytAVyVy三、物体重心与形心的位置求法3.1积分法若将平面图形分割成无穷多个微分面积dA，在极限情况下，上式写成：AACdAxdAx，AACdAydAy3.2图解法3.2.1图形具有对称性工程中经常遇到具有对称中心、对称轴、对称面的均质物体，其重心必在对称中心、对称轴对称面上，利用图形对称性确定形心是方便的。如：均质圆球的球心就是对称中心，故球心是圆球的形心；圆的形心、矩形的形心都在对称轴的交点上；T形截面左右对称，故其形心定在对称轴上等。3.2.2图形无对称性（图1）有时图形无对称性，可用对称法在图形上找到对称因素来确定物体的形心。如任意三角形ΔABD（图1a）没有对称性，但可将任意三角形分割成无数平行于AB边的直线，每一条直线的重心在其长度中点上（对称点），将这些中点联起来形成一条重心迹线DE；用同方法，再将任意三角形分割成无数平行于AD边的直线，得重心迹线BF（图1b），按对称律，任意三角形ΔABD的重心必在DE与BF的交点O上（图1a）。3.2.3图解法求均质组合物体的形心对于较复杂的组合形体，可将其分割成几个简单的形体，这些简单形体的形心一般已知或易求，由于组合图形的形心是各部分图形的形心连线的交点，因此可用图解法求组合图形的形心，该法简便实用。3.3应用举例3.3.1梯形形心的确定（图2）1）将梯形按图b的方式分割成两三角形组成（图a红线示）；2）作图b两三角形的对角线，分别得形心点A、B，将点A、B相联，得连线AB（图a红线）；3）将梯形按图c的方式分割成两三角形，用以上相同作图法得连线CD（图a绿线）；4）线段AB与线段CD的交点O即为梯形的形心（图d示）。3.3.2角钢形截面形心的确定（图3）1）将图a按图b的方式分割成两块矩形，作两矩形的对角线，确2）定形心点A和B，得联线AB；2）再将图a按图c的方式分割成两块矩形，用以上相同作图法得联线CD；3）线段AB和CD的交点即为角钢的形心O，过形心O的x，y称为角钢的形心轴（图a）。3.3.3T形截面的形心的确定（图4）1）将“T”形按图a的方式将其分割成角钢形1）与矩形2）组成（如图红线）；2）将1）部分按图b的方式分成两矩形，作两矩形的对角线，确定形心点A、B，得联线AB；3）将1）部分按图c的方式分成两块矩形，用以上相同作图法得联线CD；4）线段AB和CD的交点即为角钢的形心E（图d）；5）作矩形2）的对角线得形心点F，将点E和F相联，得联线EF（图d）；6）“T”形左右对称，故有一铅直对称轴y，铅直对称轴y与FE联线相交点O，即为“T”形的形心。通过形心O的x，y称为“T”形的形心轴（图f）。四、总结每个物体都是由许多构件组成，研究每个构件的重心，对我们了解构件的运动方式及其之间的相互联系有十分重要的意义。通过一系列行之有效的求解物体重心的方法，有助于我们精确、高效地寻找物体重心。同时我们也可以看到，对于求解物体重心有多种方法。几何解析法虽然能帮助我们精确找到物体重心，但是其数学运算繁杂。相比而言，图解法求物体重心直观易求，简便实用。在实际需要中，我们可以根据需要选择相应的方法。参考文献[1]韩美娥,周炳文.工程力第一版[M].重庆:重庆大学出版,2007.[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学第四版[M].北京:哈尔滨工业大学出版社,1982.[3]胡仰馨.理论力学第一版[M].北京:高等教育出版社,1989