解析几何中的定点、定值问题(含答案)

..Word格式解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学方法】讨论式【教学过程】一、基础练习1、过直线4x上动点P作圆224Oxy：的切线PAPB、，则两切点所在直线AB恒过一定点．此定点的坐标为_________．【答案】(1,0)xyAB4P【解析】设动点坐标为(4,tP），则以OP直径的圆C方程为：(4)()0xxyyt，故AB是两圆的公共弦，其方程为44xty．注：部分优秀学生可由200xxyyr公式直接得出．令4400xy得定点(1,0).2、已知PQ是过椭圆22:21Cxy中心的任一弦，A是椭圆C上异于PQ、的任意一点．若APAQ、分别有斜率12kk、，则12kk=______________．【答案】-2【解析】设00(,),(,)PxyAxy，则(,)Qxy220001222000yyyyyykkxxxxxx，又由A、P均在椭圆上，故有：2200222121xyxy，..Word格式两式相减得2222002()()0xxyy，220122202yykkxx3、椭圆1273622yx，过右焦点F作不垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则:NFAB等于_______.1=24e【答案】14【解析】设直线AB斜率为k，则直线方程为3ykx,与椭圆方程联立消去y整理可得22223424361080kxkxk,则221212222436108,3434kkxxxxkk,所以1221834kyyk,则AB中点为222129,3434kkkk.所以AB中垂线方程为22291123434kkyxkkk,令0y,则22334kxk,即223,034kNk,所以222239(1)33434kkNFkk.222121223611434kABkxxxxk,所以14NFAB.４、已知椭圆22221(0)xyabab，FA,是其左顶点和左焦点，P是圆222byx上的动点，若PAPF=常数，则此椭圆的离心率是..Word格式【答案】e=215【解析】因为PAPF常数，所以当点P分别在（±b，0）时比值相等，即+=+ababbcbc，整理得：2bac，又因为222bac，所以220acac同除以a2可得e2+e-1=0，解得离心率e=215．二、典例讨论例１、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22142xy的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．yxNMQOAP分析一：设PQ的方程为ykx，设点00,Pxy（00x），则点00,Qxy．联立方程组22,24ykxxy消去y得22412xk．..Word格式所以02212xk，则02212kyk．所以直线AP的方程为22112kyxk．从而220,112kMk同理可得点220,112kNk．所以以MN为直径的圆的方程为22222()()0112112kkxyykk整理得：222222()20112112kkxyykk由22200xyy，可得定点(2,0)F分析二：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得220024xy．由直线PA方程为：00(2)2yyxx，可得0020,2yMx，同理由直线QA方程可得0020,2yNx，可得以MN为直径的圆为2000022022yyxyyxx，整理得：2220020002240224yyyxyyxxx由于220042xy，代入整理即可得2200204204xyxyyx此圆过定点(2,0)F．分析三：易证：2212APAQbkka，故可设直线AP斜率为k，则直线AQ斜率为12k...Word格式直线AP方程为(2)ykx，从而得(0,2)Mk，以12k代k得10,Nk故知以MN为直径的圆的方程为21(2)()0xykyk整理得：2212(2)0xykyk由22200xyy，可得定点(2,0)F.分析四、设(0,),(0,)MmNn，则以MN为直径的圆的方程为2()()0xymyn即22()0xymnymn再由221=2APAQAMANbkkkka得2mn-，下略例2、已知离心率为e的椭圆C2222:1(0)xyabab恰过两点(1)e，和20，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知ABMN、为椭圆C上的两动弦，其中MN、关于原点O对称，AB过点(1,0)E，且ABMN、斜率互为相反数.试问：直线AMBN、的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(1)由题意：2222232111aeebab所以椭圆C的方程为2214xy.(2)设AB方程为(1)ykx，11(,)Axy，22(,)Bxy，则MN方程为ykx又设33(,)Mxkx，33(,)NxkxxyONBEAM..Word格式1323132313231323(1)(1)AMBNykxykxkxkxkxkxkkxxxxxxxx则整理得：132323131323(1)()(1)()()()AMBNkxxxxxxxxkkxxxx212312132322()()()AMBNkxxxxxkkxxxx①由22(1)44ykxxy消元整理得：2222(41)8440kxkxk，所以22121222844,4141kkxxxxkk②又由2244ykxxy消元整理得：22(41)4kx，所以232441xk③将②、③代入①式得：0AMBNkk.例2(变式)、已知离心率为e的椭圆C2222:1(0)xyabab恰过两点(1)e，和20，.(3)求椭圆C的方程；(4)已知ABMN、为椭圆C上的两动弦，其中MN、关于原点O对称，AB过定点(,0),(22)Emm，且ABMN、斜率互为相反数.试问：直线AMBN、的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(3)由题意：2222232111aeebab所以椭圆C的方程为2214xy.(4)设AB方程为()ykxm，11(,)Axy，22(,)Bxy，xyONBEAM..Word格式则MN方程为ykx又设33(,)Mxkx，33(,)Nxkx1323132313231323()()AMBNykxykxkkxxxxkxmkxkxmkxxxxx则整理得：132323131323()()()()()()AMBNkxxmxxxxmxxkkxxxx212312132322()()()AMBNkxxxmxxkkxxxx①由22()44ykxmxy消元整理得：22222(41)8440kxkmxkm，所以222121222844,4141kmkmxxxxkk②又由2244ykxxy消元整理得：22(41)4kx，所以232441xk③将②、③代入①式得：0AMBNkk.三、课外作业1、已知椭圆22+142xy，A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为____________．【答案】（0,0）【解析】试题分析：设(2,),Mt则:(2)4tAMyx，与椭圆方程联立消y得2222(8)44320txtxt，..Word格式所以221628Ptxt，288Ptyt，因此22282816228BPttkttt，即1BPOMkk，点Q的坐标为O（0,0）2、已知P是椭圆221124xy上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为1212,,kkkk则的值为．【答案】13【解析】设(,)Pxy，(23,0),B(23,0)A则123ykx，223ykx，2122122323yyykkxxx，……①因为P在椭圆上，所以221124xy，即22123xy……②把②代入①，得21221123ykkx3、已知椭圆22221(0)xyabab的离心率e=12，A,B是椭圆的左右顶点，P为椭圆上不同于AB的动点，直线PA,PB的倾斜角分别为,，则cos()cos()=.【答案】7【解析】试题分析：因为A,B是椭圆的左右顶点，P为椭圆上不同于AB的动点，22PAPBbkka2222211132244cabbeaaa，2234PAPBbkka，..Word格式31cos()coscossinsin1tantan473cos()coscossinsin1tantan144、如图所示，已知椭圆C：2214xy，在椭圆C上任取不同两点A，B，点A关于x轴的对称点为'A，当A，B变化时，如果直线AB经过x轴上的定点T(1，0)，则直线'AB经过x轴上的定点为________．【答案】(4，0)【解析】设直线AB的方程为x＝my＋1，由22141xyxmy得(my＋1)2＋4y2＝4，即(m2＋4)y2＋2my－3＝0.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，且y1＋y2＝－224mm，y1y2＝－234m，当m≠0时，经过点A′(x1，－y1)，B(x2，y2)的直线方程为121yyyy＝121xxxx.令y＝0，得x＝2121xxyyy1＋x1＝2121mymyyyy1＋my1＋1＝2212112121myymymyymyyy－＋＋＋＋1＝12212myyyy＋＋1＝223 2424mmmm－＋1＝4，所以y＝0时，x＝4.当m＝0时，直线AB的方程为x＝1，此时A′，B重合，经过A′，B的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB为x轴时，直线A′B就是直线AB，即x轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A，B变化时，直线A′B经过x轴上的定点(4，0)．5、过椭圆22143xy的右焦点2F的直线交椭圆于于,MN两点，令22,FMmFNn，则____mnmn．..Word格式【答案】34【解析】试题分析：不失一般性，不妨取MN垂直x轴的情况，此时MN：x=1,联立221431xyx，得M（1，32）,N（1，-32），∴m=n=32，∴34mnmn6、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为120F，，点2B2,在椭圆C上，直线0ykxk与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N