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数学专业英语3—A符号指示集一组的概念如此广泛利用整个现代数学的认识是所需的所有大学生。集是通过集合中一种抽象方式的东西的数学家谈的一种手段。集，通常用大写字母：A、B、C、进程运行·、X、Y、Z；由小写字母指定元素：a、b的c、进程运行·，若x、yz.我们用特殊符号x∈S意味着x是S的一个元素或属于美国的x如果x不属于S，我们写xS.≠当方便时，我们应指定集的元素显示在括号内；例如，由符号表示的积极甚至整数小于10集{2,468}{2，4.6，进程运行·}作为显示的所有积极甚至整数集，而三个点等的发生。点的和等等的意思是清楚时，才使用。上市的大括号内的一组成员方法有时称为名册符号。涉及到另一组的第一次基本概念是平等的集。DEFINITIONOFSETEQUALITY。两组A和B，据说是平等的（或相同的）如果它们包含完全相同的元素，在这种情况下，我们写A=B。如果其中一套包含在另一个元素，我们说这些集是不平等，我们写A=B。EXAMPLE1。根据对这一定义，由于他们都是由构成的这四个整数2，4.6和8两套{2,468}和{2,864}一律平等。因此，当我们用来描述一组的名册符号，元素的显示的顺序无关。动作。集{2,468}和{2,2,4,4,6,8}是平等的即使在第二组，每个元素2和4两次列出。这两组包含的四个要素2,468和无他人；因此，定义要求我们称之为这些集平等。此示例显示了我们也不坚持名册符号中列出的对象是不同。类似的例子是一组在密西西比州，其值等于{M、我、s、p}一组单词中的字母，组成四个不同字母M、我、s和体育3—B子集S.从给定的集S，我们可能会形成新集，称为.的子集例如，组成的那些正整数小于10整除4（集合{8毫米}）的一组一般是的所有甚至小于10.整数集的一个子集，我们有以下的定义。子集的定义。A一组据说是B，集的一个子集，我们写AB每当A的每个元素也属于B.我们还说包含BA或B包含。关系称为集。A和B的声明并不排除可能性，B。事实上，我们可能BA和BA，但只有当A和B都具有相同的元素发生这种情况。换句话说，A=B当且仅当B和BA。这一命题是上述定义的平等和包容的直接后果。如果A和B，但A≠B，然后我们说的就是你的真子集我们表明这通过编写B.在所有的应用程序集理论，我们有一套固定事先，S，我们只关心这给定组的子集。底层的设置的不同而有所不同从一个应用程序，到另一台；它将转交作为每个特定的话语的通用组。符号{X∣X∈S和X满足P}，将指定的所有元素X在S中满足该属性集体育当通用设置为我们所指的id的理解，我们省略参照以S，我们只需写{X∣X满足P}。这读取'集的所有这种x满足p。'在此方法中指定的设置说笔下定义的属性，例如，所有正实数的一组可以被指定为{X∣X大于0}；通用集S，在这种情况下理解为所有实数集。当然，这封信x是个笨蛋，并可由任何其他方便的符号替换。因此，我们可以写{x∣x大于0}={y∣y大于0}={t∣t大于0}等等。它有可能设置为不包含任何元素。这套被称为空集或无效设置，并将由symbolφ表示。我们会考虑φto是每一集的一个子集。有些人觉得很有用的一套类似于一个容器（例如，一个袋子或框）包含某些对象，其元素。空集则类似于一个空的容器。为了避免逻辑的困难，我们必须区分元素x和集{x}的唯一元素是x,(Aboxwithahatinitisconceptuallydistinctfromthehatitself.)尤其是，空的setφis集合{φ}不相同。事实上，空设置φcontains没有元素而集{φ}有一个元素φ（一个框，其中包含一个空框不是空的）。组成一个元素的集合，有时也称为一个元素集。2.4整数、有理数与实数4－AIntegersandrationalnumbersThereexistcertainsubsetsofRwhicharedistinguishedbecausetheyhavespecialpropertiesnotsharedbyallrealnumbers.Inthissectionweshalldiscusssuchsubsets,theintegersandtherationalnumbers.有一些R的子集很著名，因为他们具有实数所不具备的特殊性质。在本节我们将讨论这样的子集，整数集和有理数集。Tointroducethepositiveintegerswebeginwiththenumber1,whoseexistenceisguaranteedbyAxiom4.Thenumber1+1isdenotedby2,thenumber2+1by3,andsoon.Thenumbers1,2,3,…,obtainedinthiswaybyrepeatedadditionof1areallpositive,andtheyarecalledthepositiveintegers.我们从数字1开始介绍正整数，公理4保证了1的存在性。1+1用2表示，2+1用3表示，以此类推，由1重复累加的方式得到的数字1,2,3，…都是正的，它们被叫做正整数。Strictlyspeaking,thisdescriptionofthepositiveintegersisnotentirelycompletebecausewehavenotexplainedindetailwhatwemeanbytheexpressions“andsoon”,or“repeatedadditionof1”.严格地说，这种关于正整数的描述是不完整的，因为我们没有详细解释“等等”或者“1的重复累加”的含义。Althoughtheintuitivemeaningofexpressionsmayseemclear,incarefultreatmentofthereal-numbersystemitisnecessarytogiveamoreprecisedefinitionofthepositiveintegers.Therearemanywaystodothis.Oneconvenientmethodistointroducefirstthenotionofaninductiveset.虽然这些说法的直观意思似乎是清楚的，但是在认真处理实数系统时必须给出一个更准确的关于正整数的定义。有很多种方式来给出这个定义，一个简便的方法是先引进归纳集的概念。DEFINITIONOFANINDUCTIVESET.Asetofrealnumbersiscalledaninductivesetifithasthefollowingtwoproperties:(a)Thenumber1isintheset.(b)Foreveryxintheset,thenumberx+1isalsointheset.Forexample,Risaninductiveset.Soistheset.Nowweshalldefinethepositiveintegerstobethoserealnumberswhichbelongtoeveryinductiveset.现在我们来定义正整数，就是属于每一个归纳集的实数。LetPdenotethesetofallpositiveintegers.ThenPisitselfaninductivesetbecause(a)itcontains1,and(b)itcontainsx+1wheneveritcontainsx.SincethemembersofPbelongtoeveryinductiveset,werefertoPasthesmallestinductiveset.用P表示所有正整数的集合。那么P本身是一个归纳集，因为其中含1，满足(a)；只要包含x就包含x+1,满足(b)。由于P中的元素属于每一个归纳集，因此P是最小的归纳集。ThispropertyofPformsthelogicalbasisforatypeofreasoningthatmathematicianscallproofbyinduction,adetaileddiscussionofwhichisgiveninPart4ofthisintroduction.P的这种性质形成了一种推理的逻辑基础，数学家称之为，在介绍的第四部分将给出这种方法的详细论述。归纳证明4-B读者是无疑熟悉实数的一条直线上的点的几何表示形式。代表0，有权代表1，在图2-4-1所示的0及另一人，选择一个点。此选项确定规模。如果一个采用一套合适的欧几里德几何公理，然后每个真实的数字对应于这条线上的一个点，相反，在行上的每个点对应于一个且仅一个实数。为此线通常称为真正的直线或实轴，而且很习惯使用单词实际数量和互换点。因此我们经常讲点的x，而不是点对应的实数。实数的订购关系有一个简单的几何解释。如果xy、点x位于左侧的点的y，如图2-4-1所示。正数躺到左侧的00，负数的权利。如果b、点x满足不等式xb当且仅当x是之间和b。此设备的几何表示实数是非常有价值的工具，有助我们去发现和更好地了解实数的某些属性。然而，读者应意识到必须将所有属性都被视为定理的实数的推断出从不涉及任何几何公理。这并不意味着人不应该让几何研究的实数属性中的使用。相反，几何往往表明特定的定理证明的方法和有时几何参数是比纯粹的解析证明（一个完全取决于公理的实数）更加出色。在这本书中，几何参数用于很大程度上有助于激励或澄清特定的讨论。不过，所有的重要定理的证明以解析的窗体。7-A序列定义日常英语中，词“sequence”和“series”是同义词，它们用来表示按某种顺序排列的一连串东西或事件。在数学上，这两个词有特殊专业含义，如通常用法一样，术语“sequence”表示按顺序排列的一串东西，而词“series”用于某种不同的意思。在这节讨论序列概念，而级数将在第十一节定义。如果对于每个正整数n都存在一个实数或复数an与之对应，则有序集a1,a2,…an,…称为无穷序列。这里重要的是，集合中的每一个元素都用正整数来标记，因此我们可以说，第一项a1，第二项a2，一般地，第n项an。每一项an都有下一项an+1，因此没有“最后”一项。序列最常用的例子是，给定某种规则或公式来描述第n项。因此，例如，公式an=1/n定义了一个序列，它的前五项是：1，1/2，1/3，1/4,1/5.有时可以使用两个或更多的公式，例如，a2n-1=1，a2n=2n2，在这种情况下，前几项是：1,2,1,8,1,18,1,32,1.另一种通常定义序列的方法是：通过一串指令说明在给定初始项后如何得到后面的项。因此我们有，对n≥2，a1=a2=1，an+1=an+an-1。这个特殊规则就是常见的递推公式，它定义了一个著名的称为Fibonacci数的序列，前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34.对任一序列，本质的问题是存在某个定义在正整数上的函数f使得对每一个n=1,2,3,…f(n)是序列的第n项。事实上，这可能是陈述序列专业定义最方便的方法。定义：定义域是所有正整数1,2,3，…的函数称为无穷序列。函数值f(n)称为序列的第n项。函数的值域（即函数值集合）通常是按顺序书写各项来表示，因此：f(1)，f(2)，f(3)，…f(n)，….为简略起见，记号{f(n)}通常用于表示第n项是f(n)的序列，序列各项对n的相关性常常通过利用下标来表示，我们可以写为an,sn,xn,un,或者类似的东西来替代f(n)。除非特别声明，本章所有序列都假设具有实的或复的项。7B序列极限这里，我们最关心的问题是决定当n无限增加时，项f(n)是否会趋于一个有限的极限。要处理这个问题，我们必须将极限概念推广到序列。做法如下：定义：说序列{f(n)}有极限L，如果对每一的正数ε都存在另一个正数N（可能依赖于ε）使得对所有的n≥N有|f(n)-L|ε.在这种情况下，我们说序列{f(n)}收敛到L，记为lim(),,()nfnLnf