二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

第1页二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念.（2）三个二次的关系.（3）一元二次不等式的解法.知识点拓展:（4）分式不等式的解法.（5）高次不等式的解法.二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式.（2）解含参数的一元二次不等式.（3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法.（5）不等式恒成立问题.（6）一元二次不等式的应用.三、知识点讲解.知识点一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02cbxax（≥0）或02cbxax（≤0）（其中0a）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式.知识点三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程002acbxax与二次函数002acbxaxy的关系是:第2页（1）当acb42≥0时,一元二次方程002acbxax有实数根,二次函数002acbxaxy的图象与x轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0时,一元二次方程002acbxax有两个不相等的实数根,二次函数002acbxaxy的图象与x轴有两个不同的交点;②当0时,一元二次方程002acbxax有两个相等的实数根,二次函数002acbxaxy的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042acb时,一元二次方程002acbxax无实数根,二次函数002acbxaxy的图象与x轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数002acbxaxy的关系是:（1）一元二次不等式02cbxax（≥0）的解集就是二次函数002acbxaxy的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02cbxax（≤0）的解集就是二次函数002acbxaxy的图象位于x轴下方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解.知识点一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数;（2）计算acb42的值,并判断的符号;（3）当≥0时,求出相应的一元二次方程的根;（4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.第3页其中,①当0时,一元二次不等式002acbxax的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式002acbxax的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0时,一元二次不等式002acbxax的解集为abxx2;一元二次不等式002acbxax的解集为;③当0时,一元二次不等式002acbxax的解集为R;一元二次不等式002acbxax的解集为.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:判别式acb42000二次函数002acbxaxy的图象（0a）xyx2x1Oxyx1=x2OxyO图象说明图象与x轴有两个不同的交点图象与x轴只有一个交点（顶点在x轴上）图象与x轴没有交点一元二次方程002acbxax的解有两个不相等的实数根21xx有两个相等的实数根abxx221没有实数根002acbxax的解集21xxxxx或abxx2R002acbxax的解集21xxxx一元二次不等式在R上恒成立的问题（1）02cbxax在R上恒成立,则有:0402acba或00cba;（2）02cbxax在R上恒成立,则有:0402acba或00cba;第4页（3）一元二次不等式cbxax2≥0在R上恒成立,则有:0402acba;（4）一元二次不等式cbxax2≤0在R上恒成立,则有:0402acba.补充概念二次函数的零点我们把使一元二次方程02cbxax的实数x叫做二次函数cbxaxy2的零点.对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02cbxax的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当acb42≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式:①0)()(xgxf;②)()(xgxf≥0;③0)()(xgxf;④)()(xgxf≤0.分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式.各标准形式的分式不等式的解法为:（1）0)()(xgxf与不等式组0)(0)(xgxf或0)(0)(xgxf同解,与不等式0)()(xgxf同解;（2）)()(xgxf≥0与不等式组0)(0)()(xgxgxf同解;第5页（3）0)()(xgxf与不等式组0)(0)(xgxf或0)(0)(xgxf同解,与不等式0)()(xgxf同解;（4）)()(xgxf≤0与不等式组0)(0)()(xgxgxf.由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根;（3）标根:把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线:从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集:若不等号为“”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1.解不等式0452xx.分析先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解:原不等式可化为:0452xx.对于方程0452xx,∵0941452∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121xx.∴不等式0452xx的解集为41xx.点评在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.第6页例2.已知关于x的不等式022cxax的解集为2131xx,求不等式022axcx的解集.分析先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出ca,的值.注意一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根.解:由题意可知:0a.∵关于x的不等式022cxax的解集为2131xx∴21,3121xx是方程022cxax的两个实数根由根与系数的关系定理可得:213121312aca,解之得:212ca.∴022axcx即012222xx∴062xx,解之得:32x.∴不等式022axcx的解集为32xx.例3.一元二次不等式052xx的解集为【】（A）52xxx或（B）25xxx或（C）52xx（D）25xx分析本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解:原不等式可化为:052xx.∵方程052xx的根为5,221xx.∴不等式052xx的解集为52xx,即原不等式的解集.∴选择答案【C】.第7页例4.已知不等式042axx的解集为空集,则实数a的取值范围是【】（A）44aa（B）44aa（C）44aaa或（D）44aaa或分析本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042axx的解集为空集,即相应的二次函数42axxy的图象位于x轴上及其上方,或者不等式42axx≥0在R上恒成立.解:∵不等式042axx的解集为空集∴162a≤0,解之得:4≤a≤4.∴实数a的取值范围是44aa.∴选择答案【A】.例5.若关于x的不等式021xmx的解集为21xmx,则实数m的取值范围是【】（A）0mm（B）20mm（C）21mm（D）0mm分析本题由题意可知:0m.解:∵021xmx∴02122xmmx.∵其解集为21xmx∴0m.∴实数m的取值范围是0mm.∴选择答案【D】.例6.已知函数182bxaxy的定义域为6,3,则实数a的值为_________,第8页实数b的值为_________.解:∵函数182bxaxy的定义域为6,3∴一元二次不等式182bxax≥0的解集为6,3.由根与系数的关系定理可得:631863aab,解之得:31ba.∴实数a的值为1,实数b的值为3.例7.已知函数mxxy2.（1）当2m时,求不等式0y的解集;（2）若0,0ym的解集为bxax,,求ba41的最小值.解:（1）2m时,22xxy.∵0y,∴02122xxxx解之得:1x或2x.∴不等式0y的解集为21xxx或;（2）∵02mxxy的解集为21xxx或∴mabba,1,且041m,解之得:41m.∵0m,∴0,0ba,410m.∴abbabababa454141≥9425abba.当且仅当abba4,即32,31ba时,等号成立.此时41923231m,符合题意.∴ba41的最小值为9.例8.解关于x的不等式02xax（0a）.分析本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,第9页要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解:∵02xax,∴01axx∴01axax.∵0a,∴分为两种情况:①当0a时,原不等式的解集为01xaxx或;②当0a时,原不等式的解集为01xax.综上所述,当当0a时,原不等式的解集为01xaxx或,当0a时,原不等式的解集为