圆锥曲线中的三角形问题(含解析)

1专题12圆锥曲线中的三角形问题一、题型选讲题型一、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22ypx（0p）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若||||3||NFEFMF，123MNES△，则p（）A．1B．2C．3D．9例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221xyCab：的左、右焦点F1，F2分别作斜率为22的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求12AFF△的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记OAB△与MAB△的面积分别为S1，S2，若213SS，求点M的坐标．2题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点2,1P斜率为正的直线交椭圆221245xy于A，B两点.C，D是椭圆上相异的两点，满足CP，DP分别平分ACB，ADB.则PCD外接圆半径的最小值为（）A．2155B．655C．2413D．1913例5、【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C：22221(0)xyabab过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为12，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.例6、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：PQG△是直角三角形；（ii）求PQG△面积的最大值.3例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F，2F是椭圆2222:1xyCab的左右焦点，且椭圆C的离心率为63，直线:lykxm与椭圆交于A，B两点，当直线l过1F时2FAB周长为8.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若0OAOB，是否存在定圆222xyr，使得动直线l与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且ACEF.（1）证明：直线BE经过AC的中点M；（2）求ABC面积的最小值及此时直线AC的方程.4二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,FF是椭圆222:1(02)4xyCmm的两个焦点，00(,)Pxy是C上一点，且满足12PFF的面积为3,则0||x的取值范围是____.2、【2018年高考全国I理数】已知双曲线22:13xCy，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若OMN△为直角三角形，则||MNA．32B．3C．23D．43、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E：24yx和直线l：40xy，P是直线上l一点，过点P做抛物线的两条切线，切点分别为A，B，C是抛物线上异于A，B的任一点，抛物线在C处的切线与PA，PB分别交于M，N，则PMN外接圆面积的最小值为______.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)Pst为抛物线2:2(0)Cypxp上的动点，F是抛物线的焦点，当1s时，54PF．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P作圆M：22(2)1xy的切线1l，2l，分别交抛物线C于点,AB．当1t时，求PAB△面积的最小值．55、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O，(2,0)E，抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F为线段OE中点.（1）求抛物线C的方程；（2）过点E的直线交抛物线C于,AB两点，4ABAM，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MNy轴，求ABN面积的最小值.66、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214yx的焦点为F.1若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：2PFyPQF.2A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点0,4D(AB不与x轴平行)，且6AFBF.过y轴上一点E作直线//mx轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE△面积的最大值.7一、题型选讲题型一、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22ypx（0p）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若||||3||NFEFMF，123MNES△，则p（）A．1B．2C．3D．9【答案】C【解析】设准线与x轴的交点为T，直线l与准线交于R，||||3||3NFEFMFa，则||||3NFEFa，||MFa，过M，N分别作准线的垂线，垂足分别为,PQ，如图，由抛物线定义知，||MPa，||3NQa，因为MP∥NQ，所以||||||||PMRMQNRN，即||3||4aRMaRMa，解得||2RMa，同理||||||||FTRFQNRN，即||336FTaaa，解得3||2FTa，又||FTp，所以32ap，23ap，过M作NQ的垂线，垂足为G，则22||||||MGMNGN2216423aaa，所以1||||2MNESEFMG△13231232aa，解得2a，故332pa.故选：C.例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221xyCab：的左、右焦点F1，F2分别作斜率为22的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为8_____．【答案】12【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S21'BOFBOFS，则有11275ABySSy，所以175AByy．将直线AB1方程24yxc，代入椭圆方程后，2222241xycxyab，整理可得：（b2+8a2）y2﹣42b2cy+8b4＝0，由韦达定理解得1222428ABbcyyba，142288ABbyyba，三式联立，可解得离心率12cea．故答案为：12．例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．9（1）求12AFF△的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记OAB△与MAB△的面积分别为S1，S2，若213SS，求点M的坐标．【解析】（1）椭圆22:143xyE的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则2224,3,1abc.所以12AFF△的周长为226ac.（2）椭圆E的右准线为4x.设(,0),(4,)PxQy，则(,0),(4,)OPxQPxy，2(4)(2)44,OPQPxxx在2x时取等号.所以OPQP的最小值为4.（3）因为椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为12,FF，点A在椭圆E上且在第一象限内，212AFFF⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2FFA.所以直线:3430.ABxy设(,)Mxy，因为213SS，所以点M到直线AB距离等于点O到直线AB距离的3倍.由此得|343||30403|355xy，10则34120xy或3460xy.由2234120,143xyxy得2724320xx，此方程无解；由223460,143xyxy得271240xx，所以2x或27x.代入直线:3460lxy，对应分别得0y或127y.因此点M的坐标为(2,0)或212(,)77.题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点2,1P斜率为正的直线交椭圆221245xy于A，B两点.C，D是椭圆上相异的两点，满足CP，DP分别平分ACB，ADB.则PCD外接圆半径的最小值为（）A．2155B．655C．2413D．1913【答案】D【解析】如图，先固定直线AB，设BMfMAM，则fCfDfP，其中BPfPAP为定值，故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑BPAP的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：11接下来寻求半径的表达式，由2,2APBPrBPBQrAPAQAPAPAQBP，解得111rAPBP，同理，当BPAP时有，111rBPAP，综上，111rAPBP；当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为555,1,1666APBP，则1912r；当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为12ykx，即21ykxk，与椭圆方程联立可得22224548129610kxkkxkk，设11,Axy，22,Bxy，则由根与系数的关系有，12221224821245961245kkxxkkkxxk，2221212111111112212121rAPBPxxkxkxk，注意到12x与22x异号，故12122221212122212541111222419111xxkxxrxxxxxxkkk，设125tk，则22121112112261319191924191110169169()101trtttt，，当15169t，即1695t，此时125k，故1913r，又19191213，综上外接圆半径的最小值为1913.故选：D．12例5、【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C：22221(0)xyabab过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为12，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：13(2)2yx，即24xy.当y=0时，解得4x，所以a=4，椭圆2222:10xyCabab过点M(2，3)，可得249116b，解得b2=12.所以C的方程：2211612xy.(2)设与直线AM平行的直线方程为：2xym，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程2xym与椭圆方程2211612xy，可得：2232448myy，化简可得：2216123480ymym，13所以221444163480mm，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：28xy，直线