普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第四章-动能和势能

第4章动能和势能第4章动能和势能习题解答4.2.2本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg，所以，人对传送带做功的功率为：N=fv=mgv=50×9.8×2=9.8×102（瓦）4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为llklkf,321表示弹簧的伸长量，k1为正，⑴研究当k2＞0、k20和k2=0时弹簧的劲度df/dl有何不同；⑵求出将弹簧由l1拉长至l2时弹簧对外界所做的功。解：弹簧的劲度df/dl=k1+3k2l2.k2=0时，df/dl=k1，与弹簧的伸长量无关；当k20时，弹簧的劲度随弹簧伸长量的增加而增大；k20时，弹簧的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。在以上三种情况中，劲度df/dl与弹簧伸长量l的关系如图所示。))](([)()()(2122212222112141422412122121321321212121llllkkllkllkdllkldlkdllklkAllllll4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳，证明力F对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r1,θ1变为r2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=FFTFrrrrrrrTAArrTrrFArrTdrTTdrdrFA),()()(2121211221214.2.5一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tgα=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解：设卡车匀速上坡时，速率为v,牵引力为F,功率为N,由质点平衡方程有，F=(0.04+sinα)mg，∴N=Fv=(0.04+sinα)mgv设卡车匀速下坡时，速率为v’,牵引力为F',功率为N',由质点平衡方程有F'+mgsinα=0.04mg,F'=(0.04-sinα)mg,∴N'=(0.04-sinα)mgv'.F第4章动能和势能令N'=N,即（0.04+sinα）mgv=(0.04-sinα)mgv'，可求得：v'=v(0.04+sinα)/(0.04-sinα).利用三角函数关系式，可求得：sinα≈tgα=0.02,∴v'=3v=3×15×103/602m/s=12.5m/s.4.3.1质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N，木块在A点时具有向右的速率v0=6m/s，求力T将木块从A拉至B点时的速度。解：以A为原点建立图示坐标o-x，木块由A到B，只有拉力T做功：403)4()4(404022cosxdxxxTdxTdxFAJxxxdxT100)35(50|9)4(50|]9)4[(2]9)4[(]9)4[(402402/122504022/122设木块到达B时的速度为v，由动能定理：2021221mvmvAsmvmAv/88.2065.0/1002/2220，方向向右4.3.2质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F,F=60N,木块在A处有向上的速度v0=2m/s,求木块被拉至B时的速度。解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy，木块在由A到B的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是：AN=0；AW=-mg(yB-yA)=-1.2×9.8×0.5=-5.88J；F大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。JFyydyydydyFdyFdyFAFFFyyyF43.12)12(605.0)12(5.0|])5.0(5.0[2])5.0(5.0[])5.0(5.0[)5.0(])5.0(5.0[cos5.002/12225.00222/12225.0022/12225.00)5.0(5.05.05.005.0022由动能定理：221221ABFWNmvmvAAA代入数据，求得vB=3.86m/s.4.3.3质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离l为4m3mABTxθ第4章动能和势能)11(220mgvkkmgl证明：质点m由弹簧原长位置运动到最远位置l，弹力F和滑动摩擦力f对质点做负功，导致质点动能由mv02/2变为0。根据动能定理：AF+Af=0-mv02/2……①其中，mglAklldlkAflF,2210，代入①中，并整理，有：kl2+2μmgl-mv02=0.这是一个关于l的一元二次方程，其根为：kvmkgmgml24)2(2202，负根显然不合题意，舍去，所以，)11()(22202021gmvkkgmkkgmkmvgml4.3.4圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为m的活塞将气体密封，气体膨胀前后的体积各为V1,V2，膨胀前的压强为p1，活塞初速率为v0.⑴求气体膨胀后活塞的末速率,已知气体膨胀时气体压强与体积满足pv=恒量.⑵若气体压强与体积的关系为pvγ=恒量，γ为常量，活塞末速率又如何？解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为v，在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力mg，气体对活塞的压力N=pS（S为气缸横截面），忽略重力所做的功（很小），对活塞应用动能定律：mAvvmvmvANN/2,202021221⑴若pV=p1V1，1222121ln11111VVVVVVVVVNVpdVVppdVpSdxA⑵若pVγ=p1V1)(1111211112121VVVpdVVVppdVAVVVVN4.3.5o'坐标系与o坐标系各对应轴平行，o'相对o沿x轴以v0做匀速直线运动.对于o系质点动能定理为：21212221mvmvxF，v1,v2沿x轴，根据伽利略变换证明：对于o'系，动能定理也取这种形式。证明：由伽利略变换：x=x'+v0t,v=v'+v0，Δx=Δx'+v0Δt①v1=v1'+v0，v2=v2'+v0②，将①②代入21212221mvmvxF中，有012212122210122121222120121202210)('')''('')'()'('vvvmmvmvvvvmmvmvvvmvvmtvFxF据动量定理：)(12vvmptF所以，21212221'''mvmvxFp,vmSx第4章动能和势能4.3.6在质量分析器中（详见教材）,电量为e的离子自离子源A引出后，在加速管中受到电压为U的电场加速.设偏转磁感应强度为B,偏转半径为R.求证在D漂移管中得到的离子的质量为m=eB2R2/2U.证明：正离子从离子源A引出后，在加速管中受到电压为U的电场加速，正离子动能的增量等于电场力对正离子所做的功，即，mv2/2-0=eU,∴v=(2eU/m)1/2正离子在半径为R的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转，若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qvB=mv2/R,也就是，eB=mv/R，将v=(2eU/m)1/2代入，并将方程两边平方，得：e2B2=2meU/R2，∴m=eB2R2/2U.4.3.7轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体，圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向，框架质量为200g.自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。解：设绳长l，圆柱质量m1，框架质量m2，建立图示坐标o-xy；据题意，圆柱在o点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱的速度为v1，方向与线l垂直，框架的速度为v2,方向水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知v2=v1x，v1y=v1xtg30º圆柱体m1与框架m2构成一质点系，此质点系在从竖直位置运动到图示位置的过程中，只有重力W1=m1g和拉力F做功：其中，AW1=-m1gl(1-cos30º)=-0.13J,AF=Flsin30º=2J,由质点系动能定理，有21221212112122221211211)(xyxFWvmvvmvmvmAA)/()(2])301([21341212212121mmAAvmtgmvFWxx代入数据,v1x2=4.3,v1y2=(v1xtg30º)2=1.44∴v1=(v1x2+v1y2)1/2=2.4m/s.4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k1,k2，它们自由伸展的长度相差l，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0≤x≤l和x0时弹性势能的表达式。解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零；弹簧2的势能表达式显然为：0,22212xxkEp；弹簧1的势能：)(,])[(|)()()()(12121221210212101011lxlxkxklxlkxlkxldxlkdxxlkExxxp当0≤x≤l时，lxkxkEEpp121211当x0时，lxkxkkEEEppp12212121)(4.5.1滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度vc刚好在水平方向，oxlk1k2第4章动能和势能已知A、B两点的垂直距离为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30º角，不计摩擦，求：⑴运动员离开B处的速率vB；⑵B、C的垂直高度差h及沟宽d；⑶运动员到达平台时的速率vc.解：运动员在整个运动过程中,只有重力做功,故机械能守恒，B点为势能零点。∵mgH=mvB2/2∴smgHvB/1.22258.922运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。由斜抛运动规律可知，vc=vBcos30º=19.1m/s∵mvB2/2=mvc2/2+mgh∴h=(vB2-vc2)/2g=6.3m；由竖直方向的速度公式可求跨越时间：∵0=vBsin30º-gt∴t=vB/2g=1.13s，由水平方向的位移公式可求得跨越距离d=vBcos30ºt=21.6m.4.5.2装置如图所示，球的质量为5kg，杆AB长1m，AC长0.1m，A点距o点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为v，弹簧原长：51.01.05.0220l，在小球从水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机械能守恒：2021221)(0lACOAkABmgmv，可求得：smmlACOAkABgv/28.45/)51.01.05.0(80018.92/)(22204.5.3物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连接，并在一水平(光滑)圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m,物体Q