沪科版九上数学第21章：二次函数与反比例函数知识点总结

沪科版九上数学第21章:二次函数与反比例函数强化记忆知识点知识点1：二次函数的图象与系数的关系.二次函数2yaxbxc中图象与系数的关系:（1）二次项系数a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．a0时，开口向上，a0时，开口向下。a越大，开口越小。a越小，开口越大。（2）一次项系数b，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．若0ab，则对称轴abx2在y轴左边，若0ab，则对称轴abx2在y轴的右侧。若b=0，则对称轴abx2＝0,即对称轴是y轴.概括的说就是“左同右异,y轴0”（3）常数项c，c决定了抛物线与y轴交点的位置．当0c时，交点在y轴的正半轴上;当0c时，抛物线经过原点，;当0c时，交点在y轴的负半轴上,简记为“上正下负原点0”(4)△=b2－4ac决定了抛物线与x轴交点的个数.①当0时，抛物线与x轴有两个交点②当0时，抛物线与x轴只有一个交点；③当0时，抛物线与x轴没有交点.另外当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．注：a+b+c表示x=1时，对应的函数值。a-b+c表示x=－1时，对应的函数值.4a+2b+c表示x=2时，对应的函数值。9a-3b+c表示x=－3时，对应的函数值.等知识2：一次函数的图象与系数的关系.一次函数:y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)中图象与系数的关系:（1）走向：k0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第二、四象限b0，图象经过第一、二象限；b0，图象经过第三、四象限00bk直线经过第一、二、三象限00bk直线经过第一、三、四象限00bk直线经过第一、二、四象限00bk直线经过第二、三、四象限（2）增减性：k0，y随x的增大而增大；k0，y随x增大而减小.（3）截距:当b0时，图象交于y轴正半轴,当b0时，图象交于y轴负半轴,当b=0时，图象交于原点.（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.知识3：反比例函数的图象与系数的关系以及反比例函数性质.反比例函数:y＝xk（k为常数，k≠0）中图象与系数的关系:（1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。（2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x轴、y轴，但与x轴、y轴没有交点。3）越大，图象的弯曲度越小，越小，图象的弯曲度越大，双曲线越靠近坐标轴．反比例函数y＝xk（k为常数，k≠0）k的取值k＜0k＞0图像性质a)x的取值范围是x≠0；y的取值范围是y≠0;b)函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。a)x的取值范围是x≠0；y的取值范围是y≠0;b)函数的图像两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小。（1）反比例函数解析式xky（k≠0）的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）为了计算的方便通常变形成k=xy,即k等于图像上任意一个点的横坐标与纵坐标的乘积。（2）反比例函数y＝xk（k≠0）中的比例系数k的几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线y＝xk（k≠0）上的任意一点P（x,y）做x轴、y轴的垂线PA、PB，所得矩形OBPA的面积:SOAPAxyxyk矩形OAPB推论：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为2k(3）反比例函数y＝xk（k≠0）图象的对称性：①图象关于原点对称:即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．②图象关于直线y=-x和y=x对称:即若（a，b）在双曲线的一支上，则(-b,-a)或（b,a）在双曲线的另一支上．1111SS2222OPAOPBOAPAxyxykyxO反比例函数图像与性质口诀:反比例函数双曲线，待定只需一个点，k为正,图在一、三(象)限；k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别增;线越长越近轴,永远与轴不沾边.图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线.知识点4：二次函数的图象的性质二次函数y=ax2+bx+c图象的性质函数的图象图象特点函数性质①当aO时向上无限伸展；当aO时向下无限伸展．①自变量x的取值范围是全体实数．②当aO时开口向上；当aO时开口向下；顶点为(－ab2,abac442)．②aO时，当x=－ab2时，y有最小值为abac442；aO时，当x=－ab2时，y有最大值为abac442．③对称轴为x=－ab2，当aO时，对称轴左侧图象从左到右下降，对称轴右侧图象从左到右上升；当aO时，对称轴左侧图象从左到右上升，对称轴右侧图象从左到右下降．②aO时，当x－ab2时，y随x的增大而减小；当x－ab2时，y随x的增大而增大；③aO时，当x－ab2时，y随x的增大而增大；当x－ab2时，y随x的增大而减小．二次函数2()yaxhk的图像和性质a＞0a＜0图象开口向上向下对称轴x=hx=h顶点坐标(h,k)(h,k)最值当x＝h时，y有最小值当x＝h时，y有最大值增减性在对称轴左侧即当xh时y随x的增大而减小y随x的增大而增大在对称轴右侧即当xh时y随x的增大而增大y随x的增大而减小几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x(y轴)(0,0)kaxy20x(y轴)(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)二次函数图像与性质口诀:二次方程零换y，二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。二次函数抛物线，图象对称是关键；两边单调正相反,增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点坐标最重要,横标即为对称轴,纵标函数最值现。开口、大小由a断,c与y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；△的符号最简便，x轴上数交点.一般、顶点、交点式，不同表达能互换。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。知识点5：有关抛物线的平移问题由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定，所以两个二次函数如果a相等，那么其中一个函数的图象可以由另一个函数的图象平移得到，所以形如y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2+k(a≠O，a、k、h为常数)形式的函数图象可以相互平移得到，而具体平移方式一般由各函数的顶点坐标来确定．平移方式如下图：任意抛物线y=ax2+bx+c可以由抛物线y=ax2经过适当地平移得到，具体平移方法下图所示：数形结合法：①将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；（抓住顶点）②保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处。公式法（结论法）：概括成八个字“左加右减，上加下减”．y=ax2+bx+c沿x轴向左平移h个单位得y=a(x+h)2+b(x+h)+cy=ax2沿x轴向左（右）平移h个单位得y=a(x+h)2y=a(x+h)2+k沿x轴向左（右）平移m个单位得y=a(x+h+m)2+k（或y=a(x+h-m)2+k）①y=ax2+bx+c沿y轴向上（下）平移k个单位得y=ax2+bx+c+k（或y=ax2+bx+c-k）y=ax2沿y轴向上（下）平移k个单位得y=ax2+k（或y=ax2-k）y=a(x+h)2+k沿y轴向上（下）平移n个单位得y=a(x+h)2+k+n（或y=a(x+h)2+k+n）注：对于一般式抓住与y轴的交点或顶点，对于顶点式抓住顶点。函数图像的移动规律口诀:若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b，二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀：“左右平移在括号,上下平移在末稍,左加右减须牢记,上加下减错不了”知识点6：.二次函数三种表示方法及解析式求法：（1）一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；（2）顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；（3）交点式（两根式）：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）求二次函数解析式的方法.(1)利用待定系法求二次函数关系式时，一般先设函数关系式，然后通过解方程（组）来求待定的系数。有3种设法。①顶点未知时，设一般式：2yaxbxc（0a）②已知顶点坐标为(h,k),设顶点式：2()yaxhk（0a）③已知抛物线与x轴两交点的坐标为（x1,0）与(x2,0),设交点式12()()yaxxxx（0a）注：以下4种是以上3种的特例：①已知顶点在原点，可设y=ax2（0a）②对称轴是y轴或顶点在y轴上，可设y=ax2+c（0a）③顶点在x轴上，可设y=a(x-h)2（0a）④抛物线过原点，可设y=ax2+bx（0a）另外选择一般式时,把三点或三对x、y的值代入外,有时通过对称轴方程或顶点坐标公式列方程.(2)根据抛物线间的关系求二次函数解析式.解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a反号；②两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；③两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称；这类问题，必须把已知二次函数的解析式化成“顶点式”。(3)已知抛物线与x轴两交点间的距离求二次函数解析式当已知二次函数与x轴两交点间的距离时，常用一般式cbxaxy2、韦达定理和关系式：2222121212124()()4()4bcbacxxxxxxxxaaa求解(4)根据根与系数的关系求二次函数关系式。知识点7：求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.（3）运用抛物线的对称性：设A(x1，ya），B(x2，yb）是抛物线上的两点，且ya=yb，则抛物线的对称轴为直线122xxx用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.知识点8：直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).（2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).（3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一