2018届高中总复习(数学)：8.9《圆锥曲线的综合问题》ppt课件

第八章解析几何第九节圆锥曲线的综合问题课前学案基础诊断课堂学案考点通关高考模拟备考套餐1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法。2.了解圆锥曲线的简单应用。考纲导学3.理解数形结合的思想。夯基固本基础自测课前学案基础诊断1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：□1____________，□2__________________及有两个□3____________。(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断。设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0。由Ax＋By＋C＝0，fx，y＝0，消元，(如消去y)得ax2＋bx＋c＝0。无公共点仅有一个公共点相异的公共点①若□4______，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)。②若a≠0，设Δ＝b2－4ac。A．当□5______时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；B．当□6______时，直线和圆锥曲线相切于一点；C．当□7______时，直线和圆锥曲线没有公共点。a＝0Δ＞0Δ＝0Δ＜02．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2]＝□8__________________________。(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标系中两点间距离公式)。1＋1k2|y1－y2|3．圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解。在椭圆x2a2＋y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝□9________________；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝□10__________；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率□11________________。在使用根与系数关系时，要注意使用条件是Δ≥0。－b2x0a2y0b2x0a2y0k＝py02种方法——求定值问题常见的两种方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在此过程中消去变量，从而得到定值。4个重视——求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用。1．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2。由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2。由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4y0＋2，∴y02。答案：C2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1解析：∵kAB＝0＋153＋12＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3。由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9。设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则x2a2－x－32b2＝1。整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6a2a2－b2＝2×(－12)，∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2。又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5，∴双曲线E的方程为x24－y25＝1。答案：B3．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()A．3B．4C．32D．42解析：设直线AB的方程为y＝x＋b。由y＝－x2＋3，y＝x＋b⇒x2＋x＋b－3＝0⇒x1＋x2＝－1，得AB的中点M－12，－12＋b。又M－12，－12＋b在直线x＋y＝0上，可求出b＝1，∴x2＋x－2＝0，则|AB|＝1＋12·－12－4×－2＝32。答案：C4．直线l：y＝x＋3与曲线y29－x·|x|4＝1交点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：当x≥0时，曲线为y29－x24＝1；当x＜0时，曲线为y29＋x24＝1，如图所示，直线l：y＝x＋3过(0,3)，又由于双曲线y29－x24＝1的渐近线y＝32x的斜率32＞1，故直线l与曲线y29－x24＝1(x≥0)有两个交点，显然l与半椭圆y29＋x24＝1(x≤0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点。答案：D5．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为()A．－2B．－8116C．1D．0解析：设点P(x，y)，其中x≥1。依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，由双曲线方程得y2＝3(x2－1)。PA1→·PF2→＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋y2－x－2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4x－182－8116，其中x≥1。因此，当x＝1时，PA1→·PF2→取得最小值－2。答案：A考点例析通关特训课堂学案考点通关考点一圆锥曲线中的范围问题【例1】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的任意一点到它的两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之和为22，且它的焦距为2。(1)求椭圆C的方程；解析：(1)依题意可知2a＝22，2c＝2。又b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝1。则椭圆C的方程为x22＋y2＝1。(2)已知直线x－y＋m＝0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2＋y2＝59内，求m的取值范围。解析：(2)联立方程x22＋y2＝1，x－y＋m＝0，消去y整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0。则Δ＝16m2－12(2m2－2)＝8(－m2＋3)＞0，解得－3＜m＜3。①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4m3，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝－4m3＋2m＝2m3，即AB的中点为－2m3，m3。又∵AB的中点不在圆x2＋y2＝59内，∴4m29＋m29＝5m29≥59，解得m≤－1或m≥1。②由①②得，－3＜m≤－1或1≤m＜3。故m的取值范围为(－3，－1]∪[1，3)。►名师点拨解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围。(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系。(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围。(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围。(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围。通关特训1设点A1，A2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1、A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是__________。解析：由题设知∠OPA2＝90°，设P(x，y)(x＞0)，以OA2为直径的圆的方程为x－a22＋y2＝a24，与椭圆方程联立，得1－b2a2x2－ax＋b2＝0。易知，此方程有一实根a，且由题设知，此方程在区间(0，a)上还有一实根，由此得0＜b2a1－b2a2＜a，化简得0＜a2－c2c2＜1，即0＜1－e2e2＜1，得e2＞12，所以e的取值范围为22，1。22，1考点二圆锥曲线中的最值问题【例2】平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12。(1)求M的方程；解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，y2－y1x2－x1＝－1，由此可得b2x2＋x1a2y2＋y1＝－y2－y1x2－x1＝1。因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y0x0＝12，所以a2＝2b2。又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3。因此a2＝6，b2＝3。所以M的方程为x26＋y23＝1。(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值。解析：(2)由x＋y－3＝0，x26＋y23＝1，解得x＝433，y＝－33，或x＝0，y＝3。因此|AB|＝463。由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n－533＜n＜3，设C(x3，y3)，D(x4，y4)。由y＝x＋n，x26＋y23＝1，得3x2＋4nx＋2n2－6＝0。于是x3,4＝－2n±29－n23。因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝2|x4－x3|＝439－n2。由已知，四边形ACBD的面积S＝12|CD|·|AB|＝8699－n2。当n＝0时，S取得最大值，最大值为863。所以四边形ACBD面积的最大值为863。►名师点拨圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题。(2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解。通关特训2[2014·湖北]已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C．3D．2解析：假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点。设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，双曲线的方程为x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，在△PF1F2中，4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cosπ3⇒a2＋3m2＝4c2⇒ac2＋3mc2＝4，则ac2＋3mc21＋13≥ac＋mc2⇒1e1＋1e2＝ac＋mc≤433，当且仅当a＝3m时，等号成立，故选A。答案：A考点三圆锥曲线中的定点问题【例3】已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8。(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；解析：(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝x2＋42。又∵|O1A|＝x－42＋y2，∴x－42＋y2＝x2＋42，化简得y2＝8x(x≠0)。又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x。(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P