2020年高考数学复习专题《同构式下的函数体系》

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学习数学领悟数学秒杀数学315专题6同构式下的函数体系秒杀秘籍:关于同构式下的“亲戚函数”陈永清老师对同构式的评价及总结:同构解题,观察第一同构新天地,单调大舞台.明确提示要同构,五脏俱全立同构,无中生有再同构,放缩有方可同构!秒1中我们介绍了同构“母函数”以及同构的一些技巧,在这里我们继续欣赏同构对称之美,领略同构波澜壮阔之势.同构式下我们分为两条主线1.顺反同构:顺即为平移拉伸后的同构函数,反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.2.同位同构:①加减同构,在同构的过程中“加减配凑”,从而完成同构;②局部同构即在同构过程中,我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式,再构造同构体系中的亲戚函数即可;③差一同构,指对跨阶,指数幂和对数真数差1往往可用同构秒杀之.关于xexxf的亲戚函数如图1:根据求导后可知:xexxf在区间1,,在区间,1,efxf11min.图1图2图3图4一平移和拉伸得到的同构函数如图2:1111xefexeexxx,即将xf向右平移1个单位,再将纵坐标扩大e倍,故可得xexy1在区间0,,在区间,0,当0x时,1miny.如图3:222222xfeexeexxx,即将xf向右平移2个单位,再将纵坐标扩大2e倍,故可得xexy2在区间1,,在区间,1,当1x时,eymin.如图4:111111xfeexeexxx,即将xf向左平移1个单位,再将纵坐标缩小e1倍,故可得xexy1在区间2,,在区间,2,当2x时,2min1ey.二乘除导致凹凸反转同构函数图5图6图7图8学习数学领悟数学秒杀数学316如图5:xfexexyxx,即将xf关于原点对称后得到xexy,故可得xexy在区间1,,在区间,1,当1x时,ey1max.如图6:11111)1(xfeexeexyxx,即将xf关于原点对称后,向右移一个单位,再将纵坐标缩小e1倍,得到xexy1,故可得xexy1在区间2,,在区间,2,当2x时,2max1ey.如图7:xfexxeyxx11,属于分式函数,将xf1关于原点对称后得到,故可得xeyx在区间1,0,在区间,1,当1x时,eymin.如图8:11111111xfeexexeyxx,属于分式函数,将xf1关于原点对称后,左移一个单位,再将纵坐标缩小e1倍,故可得1xeyx在区间0,1,在区间,0,当0x时,1miny.三顺反同构函数图9图10图11图12如图9:xfxexxxlnlnlnln,当1,lnx,即ex1,0,当,1lnx,即,1ex,ey1min.如图10:xfxxxxlnlnln11,实现了凹凸反转,原来最小值变成了最大值,当1,lnx,即,ex,当,1lnx,即ex,0,ey1max.如图11:exefexexexxlnln1ln,当1,lnex,即,1x,当,1lnex,即1,0x,1maxy.如图12:2222ln21ln21lnxfxxxx,当1,ln2x,即,ex,当,1ln2x,即ex,0,ey21max.【例1】(2019•凌源市一模)若函数2()xfxeax在区间(0,)上有两个极值点1x,212(0)xxx,则实数a的取值范围是()A.2ea„B.aeC.ae„D.2ea【解析】由题意得:02)(axexfx有两个实根,即xexgayx2有两个交点,如图7所示,xeyx在区间1,0,在区间,1,当1x时,eymin;,2ea,选D.学习数学领悟数学秒杀数学317【例2】(2019•广州一模)已知函数||2()xfxeax,对任意10x,20x,都有2121()(()())0xxfxfx,则实数a的取值范围是()A.]2,(eB.(,]2eC.[0,]2eD.[,0]2e【解析】由题意可知函数()fx是)0(,上的单调递减函数,且)(xf为偶函数,则)(xf在区间)0(,单调递增,当0x时,2)(axexfx,02)(axexfx对),0(x恒成立,即exeaxmin)(2,2ea,选A.【例3】(2019•荆州期末)函数1()lnxfxxx的单调增区间为()A.(,1)B.(0,1)C.(0,)eD.(1,)【解析】exexexxxflnln1)(,由于函数xxln在区间),0(e,),(e,则exexexfln)(,当),0(eex,即1,0x时,)(xf,故选B.【例4】(2019•广州期末)函数2()fxxlnxmx有两个极值点,则实数m的取值范围是()A.1(0,)2B.(,0)C.(0,1)D.(0,)【解析】021ln)(mxxxf有两个根,则exexemln2,由于函数xxln在区间),0(e,),(e,最大值为e1,参考图10,故exexemexexemln2ln2有两根时满足eem120,即210m,选A.【例5】(2019•深圳月考)已知函数()lnxfxkxx在区间14[e,]e上有两个不同的零点,则实数k的取值范围为()A.1[4e,1)2eB.1(4e,1)2eC.21[e,1]4eD.21[e,1]e【解析】222ln21ln0lnxxxxkkxxxxf,当],[41eex时,],[2221eex,由于函数xxln在区间),0(e,),(e,则当],[212eex时,]1,21[ln22eexx,当],[22eex时,]1,2[ln222eexx,由于2221ee,故当)21,41[ln2122eexxk时,()lnxfxkxx有两个不同零点,故选A.【例6】(2019•陕西一模)已知函数()()xefxklnxxx,若1x是函数()fx的唯一极值点,则实数k的取值范围是()A.],(eB.(,)eC.(,)eD.),[e学习数学领悟数学秒杀数学318【解析】函数()()xefxklnxxx的定义域是(0,),22(1)(1)()(1)()xxexkxekxxfxxxx.1x是函数()fx的唯一一个极值点1x是导函数()0fx的唯一根.0xekx在(0,)无变号零点,则),[)(1eexxekxx,故ek时满足题意,选A.【例7】(2019•保山一模)若函数lnxfxeaxx有两个极值点,则a的取值范围是()A.(,)eB.(,2)eC.(,)eD.(2,)e【解析】由()0xfxealnxa,得(1)xealnx.当0a时,易知,有且仅有一个极值点,当0a时,无极值点;0a时,方程(1)xealnx有两解,故存在0x,使(1)xealnx,即11xlnxae,令1()xlnxgxe,则11()xlnxxgxe,再令111()1xlnxxhxlnxxe,则1()1hxlnxx在(0,)上递减,又h(1)0,所以()maxgxg(1)1e,11ae,解得ae,故选:A.【注意】关于xxyln与xxyln均可以成为模型函数,也可以作为模板来进行同构,本专题之所以这样设计是让读者思考这一系列函数的同构效用,达到举一反三的目的。例题中我们会以xxyln为模板进行求最值讨论.常用的几个以()xfxxe=×为母函数的“亲戚函数”!1.111ln1lnlnlnlnxxyxxexfxx2.1ln111111ln1lnlnlnxxyxfexxxx3.11xxeyxxefx4.xxxxyxexefxe欢迎各位同仁指正!

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