2020年高考数学复习专题《同构式下的函数体系》

学习数学领悟数学秒杀数学315专题6同构式下的函数体系秒杀秘籍：关于同构式下的“亲戚函数”陈永清老师对同构式的评价及总结：同构解题，观察第一同构新天地，单调大舞台.明确提示要同构，五脏俱全立同构，无中生有再同构，放缩有方可同构！秒1中我们介绍了同构“母函数”以及同构的一些技巧，在这里我们继续欣赏同构对称之美，领略同构波澜壮阔之势.同构式下我们分为两条主线1．顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.2．同位同构：①加减同构，在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；②局部同构即在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；③差一同构，指对跨阶，指数幂和对数真数差1往往可用同构秒杀之.关于xexxf的亲戚函数如图1：根据求导后可知：xexxf在区间1,，在区间,1，efxf11min．图1图2图3图4一平移和拉伸得到的同构函数如图2：1111xefexeexxx，即将xf向右平移1个单位，再将纵坐标扩大e倍，故可得xexy1在区间0,，在区间,0，当0x时，1miny．如图3：222222xfeexeexxx，即将xf向右平移2个单位，再将纵坐标扩大2e倍，故可得xexy2在区间1,，在区间,1，当1x时，eymin．如图4：111111xfeexeexxx，即将xf向左平移1个单位，再将纵坐标缩小e1倍，故可得xexy1在区间2,，在区间,2，当2x时，2min1ey．二乘除导致凹凸反转同构函数图5图6图7图8学习数学领悟数学秒杀数学316如图5：xfexexyxx，即将xf关于原点对称后得到xexy，故可得xexy在区间1,，在区间,1，当1x时，ey1max．如图6：11111)1(xfeexeexyxx，即将xf关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小e1倍，得到xexy1，故可得xexy1在区间2,，在区间,2，当2x时，2max1ey．如图7：xfexxeyxx11，属于分式函数，将xf1关于原点对称后得到，故可得xeyx在区间1,0，在区间,1，当1x时，eymin．如图8：11111111xfeexexeyxx，属于分式函数，将xf1关于原点对称后，左移一个单位，再将纵坐标缩小e1倍，故可得1xeyx在区间0,1，在区间,0，当0x时，1miny．三顺反同构函数图9图10图11图12如图9：xfxexxxlnlnlnln，当1,lnx，即ex1,0，当,1lnx，即,1ex，ey1min．如图10：xfxxxxlnlnln11，实现了凹凸反转，原来最小值变成了最大值，当1,lnx，即,ex，当,1lnx，即ex,0，ey1max．如图11：exefexexexxlnln1ln，当1,lnex，即,1x，当,1lnex，即1,0x，1maxy．如图12：2222ln21ln21lnxfxxxx，当1,ln2x，即,ex，当,1ln2x，即ex,0，ey21max．【例1】（2019•凌源市一模）若函数2()xfxeax在区间(0,)上有两个极值点1x，212(0)xxx，则实数a的取值范围是（）A．2ea„B．aeC．ae„D．2ea【解析】由题意得：02)(axexfx有两个实根，即xexgayx2有两个交点，如图7所示，xeyx在区间1,0，在区间,1，当1x时，eymin；,2ea，选D．学习数学领悟数学秒杀数学317【例2】（2019•广州一模）已知函数||2()xfxeax，对任意10x，20x，都有2121()(()())0xxfxfx，则实数a的取值范围是（）A．]2,(eB．(,]2eC．[0,]2eD．[,0]2e【解析】由题意可知函数()fx是)0(，上的单调递减函数，且)(xf为偶函数，则)(xf在区间)0(，单调递增，当0x时，2)(axexfx，02)(axexfx对),0(x恒成立，即exeaxmin)(2，2ea，选A．【例3】（2019•荆州期末）函数1()lnxfxxx的单调增区间为（）A．(,1)B．(0,1)C．(0,)eD．(1,)【解析】exexexxxflnln1)(，由于函数xxln在区间),0(e，),(e，则exexexfln)(，当),0(eex，即1,0x时，)(xf，故选B．【例4】（2019•广州期末）函数2()fxxlnxmx有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．1(0,)2B．(,0)C．(0,1)D．(0,)【解析】021ln)(mxxxf有两个根，则exexemln2，由于函数xxln在区间),0(e，),(e，最大值为e1，参考图10，故exexemexexemln2ln2有两根时满足eem120，即210m，选A．【例5】（2019•深圳月考）已知函数()lnxfxkxx在区间14[e，]e上有两个不同的零点，则实数k的取值范围为（）A．1[4e，1)2eB．1(4e，1)2eC．21[e，1]4eD．21[e，1]e【解析】222ln21ln0lnxxxxkkxxxxf，当],[41eex时，],[2221eex，由于函数xxln在区间),0(e，),(e，则当],[212eex时，]1,21[ln22eexx，当],[22eex时，]1,2[ln222eexx，由于2221ee，故当)21,41[ln2122eexxk时，()lnxfxkxx有两个不同零点，故选A．【例6】（2019•陕西一模）已知函数()()xefxklnxxx，若1x是函数()fx的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．],(eB．(,)eC．(,)eD．),[e学习数学领悟数学秒杀数学318【解析】函数()()xefxklnxxx的定义域是(0,)，22(1)(1)()(1)()xxexkxekxxfxxxx．1x是函数()fx的唯一一个极值点1x是导函数()0fx的唯一根．0xekx在(0,)无变号零点，则),[)(1eexxekxx，故ek时满足题意，选A.【例7】（2019•保山一模）若函数lnxfxeaxx有两个极值点，则a的取值范围是（）A．(,)eB．(,2)eC．(,)eD．(2,)e【解析】由()0xfxealnxa，得(1)xealnx．当0a时，易知，有且仅有一个极值点，当0a时，无极值点；0a时，方程(1)xealnx有两解，故存在0x，使(1)xealnx，即11xlnxae，令1()xlnxgxe，则11()xlnxxgxe，再令111()1xlnxxhxlnxxe，则1()1hxlnxx在(0,)上递减，又h（1）0，所以()maxgxg（1）1e，11ae，解得ae，故选：A．【注意】关于xxyln与xxyln均可以成为模型函数，也可以作为模板来进行同构，本专题之所以这样设计是让读者思考这一系列函数的同构效用，达到举一反三的目的。例题中我们会以xxyln为模板进行求最值讨论.常用的几个以()xfxxe=×为母函数的“亲戚函数”！1.111ln1lnlnlnlnxxyxxexfxx2.1ln111111ln1lnlnlnxxyxfexxxx3.11xxeyxxefx4.xxxxyxexefxe欢迎各位同仁指正！