第三讲三次样条函数

计算方法第3讲样条函数本讲主要问题一、样条函数二、三次样条插值三、三次样条函数的构造分段插值存在着一个缺点,就是会导致插值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑,即导数不连续,对于一些实际问题,不但要求一阶导数连续,而且要求二阶导数连续.为了满足这些要求,人们引入了样条插值的概念.所谓“样条”(spline)是工程绘图中的一种工具,它是有弹性的细长木条.绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率.样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的.它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求.定义设f(x)是区间[a,b]上的一个连续可微函数,在区间[a,b]上给定一组节点:a=x0x1x2xn=b设函数S(x)满足条件:一、样条函数(1)S(x)在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,,n–1)上是次数不超过m的多项式;(2)S(x)在区间[a,b]上有m–1阶连续导数.则称S(x)是定义在[a,b]上的m次样条函数,x0,x1,x2,,xn称为样条节点,其中x1,,xn–1称为内结点,x0,xn称为边界节点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数.样条插值的思想:逐段选取适当的低次多项式,按一定的光滑性要求连接起来构成插值函数.二、三次样条插值定义设给定区间[a,b]上n+1个点a=x0x1x2xn=b,以及相应的函数值yi=f(xi),i=0,1,…,n.如果函数S(x)满足:(1)在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n–1)上,S(x)是不超过三次的多项式,且S(xi)=yi,i=0,1,…,n;(2)S(x)、S(x)、S(x)在[a,b]上连续.则称S(x)是f(x)在节点x0,x1,x2,…,xn上的三次样条插值函数.例1给定区间[0,3]上3个点的函数值f(0)=0,f(1)=2,f(3)=4,试求数a,b,c,d,使函数S(x)为给定点上的三次样条插值函数.其中232,01().1,13xxdxSxaxbxcxx答案:1,4,2,0.abcd给定n+1个样点(xi,yi)(i=0,1,…,n),确定一个三次样条插值函数需要4n个独立条件.在定义中,已指定了4n–2个条件,即00(),()()(),(1,2,...1)()(),()(),nniiiiiiiSxySxySxSxyinSxSxSxSx所以,一般需补充指定2个边界条件.三、三次样条函数的构造——三弯矩插值法记Mi=S(xi),f(xi)=fi=yi,考虑它在任一区间[xi,xi+1]上的形式.根据三次样条的定义可知,S(x)的二阶导数S(x)在每一个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,,n–1)上都是线性函数.于是在[xi,xi+1]上S(x)=Si(x)的二阶导数表示成111()[,],iiiiiiiixxxxSxMMxxxhh其中hi=xi+1–xi.对S(x)连续积分两次,并利用插值条件S(xi)=yi,得到3311111()()()66()()66iiiiiiiiiiiiiiiixxxxSxMMhhyMyMhxxhxxhh1[,]iixxx只要能求出所有的{Mi},就能求出三次样条插值函数S(x).221111()()()226iiiiiiiiiiiixxxxSxMMhhyyMMhh下面考虑Mi的求法.由连续性S'(xi–)=S'(xi+),(i=1,2,…,n–1)得μiMi–1+2Mi+λiMi+1=di1111111,6()iiiiiiiiiiiiiiihhhyyyydhhhh其中该方程组有n–1个方程,但有n+1个变量Mi.下面介绍几种常用的边界条件第1型边界条件:已知f(x)在两端点的导数f(a)和f(b),要求S'(a)=f'(a),S'(b)=f'(b)第2型边界条件:已知f(x)在两端点的二阶导数f(a)和f(b),要求S(a)=M0=f(a),S(b)=Mn=f(b)特别当S(a)=S(b)=0时,S(x)称为自然三次样条.第3型边界条件：已知f(x)是以b–a为周期的周期函数,要求S(x)满足周期条件S(a)=S(b),S'(a+)=S'(b–),S(a+)=S(b–)三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题(i＝1,2,3).可以证明第i型插值问题的解是存在且唯一的.他们对应如下的方程组:000111122221111220222nnnnnnnMdMdMdMdMd对于第1型插值问题:00100001111,6(),1,6().nnnnnnndyyhyhdyyyhh对于第2型插值问题:0000,2,0,2.nnndydy对于第3型插值问题:0112nnnnnnMMMMMd1110111(),6()()其中　．nnnnnnnnnnhhhdyyhyyhhh以上各组条件与前述方程组联立,可以解出未知参数M0,M1,…,Mn,然后代入S(x)表达式,即可求得样条函数.上面构造方法中Mi相应于力学中细梁在xi处截面的弯矩,每一个方程中又至多出现相邻的三个Mi,通常称为三弯矩法.求三次样条插值函数的步骤归纳为:(1)确定边界条件,判定是第几型插值问题.(2)根据所确定的条件计算各值,形成方程组.(3)解方程组,求得M0,M1,M2,Mn.(4)将求得的Mi值代回S(x)的表达式中,从而可求得函数y=f(x)在任一点的近似值S(x).例2给定函数表,求自然三次样条插值函数,并求f(3).1342y1245x答案:32323171887314885934881(1)(1),[1,2]()3(2)(2)(2),[2,4]4(4)(4)(4),[4,5]xxxSxxxxxxxxx25.48183473)3()3(Sf练习已知函数f(x)的数值表如下：试求f(x)在[2,6]上的三次样条插值函数.f(x)f(x)x–111373642答案:M0=0.25,M1=2.5,M2=-7.25.S(x)=–(1/48)(x–4)3+(5/24)(x–2)3–(17/12)(x–4)+(8/3)(x–2),x∈[2,4]–(5/24)(x–6)3–(29/48)(x–4)3–(8/3)(x–6)+(107/12)(x–4),x∈[4,6]