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第4课时基本不等式1．基本不等式基础知识梳理基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件≤aba＋b2a0，b0a＝b基础知识梳理2.常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)；(2)ab(a＋b2)2(a，b∈R)；(3)a2＋b22(a＋b2)2(a，b∈R)；(4)ba＋ab≥(a，b同号且不为零)．2ab≤≥2上述四个不等式等号成立的条件是什么？【思考·提示】满足a＝b.基础知识梳理思考？基础知识梳理3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．a＋b2ab4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有值是.(简记：积定和最小)基础知识梳理x＝y最小2p(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，xy有值是.(简记：和定积最大)基础知识梳理x＝y最大p24三基能力强化1．“a0且b0”是“a＋b2≥ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A三基能力强化2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3答案：C三基能力强化A．最大值0B．最小值0C．最大值－2D．最小值－2答案：B3．函数f(x)＝x＋1x－2－4(x2)，则f(x)有()三基能力强化4.(2009年高考湖南卷改编)若x0，则x＋2x的最大值为________．答案：－225．(教材例题改编)长为24cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为________．答案：36cm2三基能力强化利用基本不等式证明不等式，先观察题目条件是否满足基本不等式的应用环境，若不满足，则应通过添项、拆项、配系数、“1”的代换等方法，使其满足应用条件，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的．课堂互动讲练考点一利用基本不等式证明不等式课堂互动讲练例1(1)已知a0，b0，a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.(2)证明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd.【思路点拨】(1)利用a＋b＝1将要证不等式中的1代换，即可得证．(2)利用a2＋b2≥2ab两两结合即可求证．但需两次利用不等式，注意等号成立的条件．课堂互动讲练课堂互动讲练【证明】(1)∵a0，b0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．∴1a＋1b≥4.∴原不等式成立．(2)a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥2·2abcd＝4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2且c2＝d2且ab＝cd.课堂互动讲练【名师点评】证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立，同时也要注意应用基本不等式的变形形式．课堂互动讲练在利用基本不等式“和式≥积式”求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．课堂互动讲练考点二利用基本不等式求最值课堂互动讲练例2(1)求函数y＝x＋1x的值域．(2)已知0x13，求函数y＝x(1－3x)的最大值．【思路点拨】(1)题中未指明x0，因而不能直接使用基本不等式，需分x0与x0讨论；(2)求函数的最大值，需构造某个和为定值，可考虑将括号内外x的系数变成互为相反数．课堂互动讲练【解】(1)当x0时，由基本不等式，得课堂互动讲练y＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1时，等号成立；当x0时，y＝x＋1x＝－[(－x)＋1(－x)]．∵－x0，∴(－x)＋1(－x)≥2，课堂互动讲练当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时，等号成立．∴y＝x＋1x≤－2.综上，函数y＝x＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．课堂互动讲练(2)法一：∵0x13，∴1－3x0.∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤13[3x＋(1－3x)2]2＝112，课堂互动讲练当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.法二：∵0x13，∴13－x0.课堂互动讲练∴y＝x(1－3x)＝3·x(13－x)≤3·(x＋13－x2)2＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.【误区警示】本题的易误点是忽视不等式成立的条件，或者忽视验证等号成立的条件．课堂互动讲练在利用基本不等式求最值时，有时需要变形，然后再求最值，但是要注意不等式成立的条件及等号成立的条件．课堂互动讲练考点三利用变形的基本不等式求最值课堂互动讲练例3解下列问题：(1)已知a0，b0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；(2)已知x0，求函数y＝1－2x－3x(x0)的最大值；(3)已知x0，y0，且x＋y＝1，求4x＋9y的最小值．课堂互动讲练【思路点拨】利用基本不等式的变形如：ab≤(a＋b2)2或a＋b≥2ab来求最值．课堂互动讲练【解】(1)法一：∵a0，b0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥24ab＝4ab，当且仅当4a＝b＝12，即a＝18，b＝12时，等号成立．∴ab≤14，∴ab≤116.所以ab的最大值为116.课堂互动讲练法二：∵a0，b0,4a＋b＝1，∴ab＝14·4a·b≤14(4a＋b2)2＝116，当且仅当4a＝b＝12，即a＝18，b＝12时，等号成立．所以ab的最大值为116.课堂互动讲练(2)∵x0，∴2x＋3x≥22x·3x＝26.当且仅当2x＝3x，即x＝62时取等号．∴y＝1－2x－3x≤1－26.∴当x＝62时，ymax＝1－26.课堂互动讲练(3)∵x0，y0，x＋y＝1，∴4x＋9y＝(x＋y)(4x＋9y)＝13＋4yx＋9xy≥13＋24yx·9xy＝25，当且仅当4yx＝9xy时等号成立，课堂互动讲练由x＋y＝1，4yx＝9xy，得x＝25，y＝35，∴当x＝25，y＝35时取等号．所以4x＋9y的最小值为25.【规律总结】(1)求最值时，要注意“一正，二定，三相等”，一定要明确什么时候等号成立．(2)学好基本不等式，灵活应用是关键，添常数、配系数，“1”的代换别忘了，一正、二定、三相等，格式规范要切记，千变万化不等式，透过现象看本质．在本例(1)中法二采用了配系数，(2)中采用了添常数，(3)中利用了“1”的代换．如果(3)中若x＋y课堂互动讲练课堂互动讲练＝2，则如何用“1”的代换？显然x＋y2＝1，故4x＋9y＝x＋y2·(4x＋9y)．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．课堂互动讲练考点四基本不等式的实际应用课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)(2009年高考湖北卷)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙用新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．课堂互动讲练【思路点拨】课堂互动讲练用x表示另一边长a→列出函数关系→利用均值不等式求最值【解】(1)如图，设矩形的另一边长为am，课堂互动讲练课堂互动讲练则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝360x，4分所以y＝225x＋3602x－360(x0).6分课堂互动讲练(2)∵x0，∴225x＋3602x≥2225×3602＝10800.8分∴y＝225x＋3602x－360≥10440.当且仅当225x＝3602x时，等号成立.11分即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.12分【失误点评】(1)列出函数关系易漏定义域，(2)对最后的结果不作结论．课堂互动讲练(本题满分12分)已知26列火车以相同速度v由A地驶向400千米处的B地，每两列火车间距离为d千米，现知d与速度v的平方成正比，且当v＝20千米/时时，d＝1千米．课堂互动讲练高考检阅(1)写出d关于v的函数关系式；(2)若不计火车的长度，则26列火车都到达B地最少需要多少小时？此时火车的速度为多少？课堂互动讲练∴1＝k·202，即k＝1400，∴d＝1400v2(v0).4分解：(1)由题意可设d＝kv2，其中k为比例系数，且v0，∵当v＝20时，d＝1，课堂互动讲练(2)∵每两列火车间距离为d千米，∴最后一列火车与第一列火车间的距离是25d，所以最后一列火车到达B地的时间为t＝400v＋25dv，由(1)可知d＝1400v2，代入上式整理得t＝400v＋v16≥2400v·v16＝2×5＝10，∴26列火车都到达B地最少需要10小时，此时火车的速度为80千米/时.12分课堂互动讲练当且仅当400v＝v16，即v＝80(千米/时)时，等号成立，规律方法总结1．基本不等式ab≤a＋b2(1)注意不等式成立的条件a0，b0.当a0，b0时，a＋b2，ab分别叫做这两个正数的算术平均数、几何平均数，因此，该不等式又可记作两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．(2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想．规律方法总结2．创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．规律方法总结随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。18、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个今天过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。19、上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。20、成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。6.凡是内心能够想到.相信的，都是可以达到的。――[NapoleonHill]77.一个客观的艺术不只是用来看的，而是活生生的。但是你必须知道如何去靠近它，因此你必须要做静心。――[OSHO]78.烦恼使我受着极大的影响……我一年多没有收到月俸，我和穷困挣扎；我在我的忧患中十分孤独，而且我的忧患是多么多，比艺术使我操心得更厉害！――[米开朗基罗]79.有两种东西，我们对它们的思考愈是深沉和持久，它们所唤起的那种愈来愈大的惊奇和敬畏就会充溢我们的心灵，这就是繁星密布的苍穹和我心中的道德律。――[康德]80.我们的生活似乎在代替我们过日子，生活本身具有的奇异冲力，把我们带得晕头转向；到最后，我们会感觉对生命一点选择也没有，丝毫无法作主。――[索甲仁波切]81.如果你是个作家，这是比当百万富豪更好的事，因为这一份神圣的工作。[哈兰·爱里森]82.成为一个成功者最重要的条件，就是每天精力充沛的努力工作，不虚掷光阴。――[威廉·戴恩·飞利浦]