全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总及详细答案

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一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.某市实施产业精准扶贫,帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚.已知该蜜柚的成本价为6元/千克,到了收获季节投入市场销售时,调查市场行情后,发现该蜜柚不会亏本,且每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?(3)某村农户今年共采摘蜜柚12000千克,若该品种蜜柚的保质期为50天,按照(2)的销售方式,能否在保质期内全部销售完这批蜜柚?若能,请说明理由;若不能,应定销售价为多少元时,既能销售完又能获得最大利润?【答案】(1)y=﹣20x+500,(x≥6);(2)当x=15.5时,w的最大值为1805元;(3)当x=13时,w=1680,此时,既能销售完又能获得最大利润.【解析】【分析】(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式:y=kx+b即可求解;(2)由题意得:w=y(x﹣6)=﹣20(x﹣25)(x﹣6),∵﹣20<0,故w有最大值,即可求解;(3)当x=15.5时,y=190,50×190<12000,故:按照(2)的销售方式,不能在保质期内全部销售完;由50(500﹣20x)≥12000,解得:x≤13,当x=13时,既能销售完又能获得最大利润.【详解】解:(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式:y=kx+b得:2001530010kbkb,解得:20500kb,即:函数的表达式为:y=﹣20x+500,(x≥6);(2)设:该品种蜜柚定价为x元时,每天销售获得的利润w最大,则:w=y(x﹣6)=﹣20(x﹣25)(x﹣6),∵﹣20<0,故w有最大值,当x=﹣2ba=312=15.5时,w的最大值为1805元;(3)当x=15.5时,y=190,50×190<12000,故:按照(2)的销售方式,不能在保质期内全部销售完;设:应定销售价为x元时,既能销售完又能获得最大利润w,由题意得:50(500﹣20x)≥12000,解得:x≤13,w=﹣20(x﹣25)(x﹣6),当x=13时,w=1680,此时,既能销售完又能获得最大利润.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值).2.已知,抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0).(1)判断该抛物线与x轴的交点个数,并说明理由.(2)若点A(-n+5,0),B(n-1,0)在该抛物线上,点M为抛物线的顶点,求△ABM的面积.(3)若点(2,p),(3,g),(4,r)均在该抛物线上,且pgr,求m的取值范围.【答案】(1)抛物线与x轴有2个交点,理由见解析;(2)△ABM的面积为8;(3)m的取值范围m-2.5【解析】【分析】(1)首先算出根的判别式b2-4ac的值,根据偶数次幂的非负性,判断该值一定大于0,从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论;(2)根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程,求解算出m的值,进而求出抛物线的解析式,得出A,B,M三点的坐标,根据三角形的面积计算方法,即可算出答案;(3)方法一(图象法):根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时,显然不符合题目条件;当对称轴在直线x=2的左边时,显然符合题目条件(如图2),从而列出不等式得出m的取值范围;当对称轴在直线x=2和x=3之间时,满足3-(-m)-m-2即可(如图3),再列出不等式得出m的取值范围,综上所述,求出m的取值范围;方法二(代数法):将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式,用含m的式子表示出p,g,r,再代入pgr即可列出关于m的不等式组,求解即可。【详解】(1)解:抛物线与x轴有2个交点。理由如下:∵m≠0,∴b2-4ac=(2m)2-4×1×0=4m20.∴抛物线与x轴有2个交点(2)解:∵点A(-n+5,0),B(n-1,0)在抛物线上∴抛物线的对称轴x=5122nn∴221m=2,即m=-2.∴抛物线的表达式为y=x2-4x.∴点A(0,0),点B(4,0)或点A(4,0),点B(0,0),点M(2,-4)∴△ABM的面积为12×4×4=8(3)解:方法一(图象法):∵抛物线y=x2+2mx的对称轴为x=-m,开口向上。∴当对称轴在直线x=3的右边时,显然不符合题目条件(如图1).当对称轴在直线x=2的左边时,显然符合题目条件(如图2).此时,-m2,即m-2.当对称轴在直线x=2和x=3之间时,满足3-(-m)-m-2即可(如图3).即m-2.5.综上所述,m的取值范围m-2.5方法二(代数法):由已知得,p=4+4m,g=9+6m,r=16+8m.∵pqr,∴4+4m9+6m16+8m,解得m>-2.5.【点睛】二次函数的综合应用题。与X轴交点的情况当△=b2-4ac0时,函数图像与x轴有两个交点。当△=b2-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。Δ=b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点。熟练运用顶点坐标(-2ba,244acba)3.已知,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,使PA+PC的值最小?如果存在,请求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)设点M在抛物线的对称轴上,当△MAC是直角三角形时,求点M的坐标.【答案】(1)223yxx;(2)当PAPC的值最小时,点P的坐标为1,2;(3)点M的坐标为1,1、1,2、81,3或21,3.【解析】【分析】1由点A、C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;2连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PAPC取最小值,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式,利用配方法可求出抛物线的对称轴,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标;3设点M的坐标为1,m,则22CM(10)(m3),22AC[01](30)10,22AM[11](m0),分AMC90、ACM90和CAM90三种情况,利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程,解之可得出m的值,进而即可得出点M的坐标.【详解】解:1将1,0A、0,3C代入2yxbxc中,得:103bcc,解得:23bc,抛物线的解析式为223yxx.2连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PAPC取最小值,如图1所示.当0y时,有2230xx,解得:11x,23x,点B的坐标为3,0.抛物线的解析式为2223(1)4yxxx,抛物线的对称轴为直线1x.设直线BC的解析式为0ykxdk,将3,0B、0,3C代入ykxd中,得:303kdd,解得:13kd,直线BC的解析式为3yx.当1x时,32yx,当PAPC的值最小时,点P的坐标为1,2.3设点M的坐标为1,m,则22(10)(3)CMm,22[01](30)10AC,22[11](0)AMm.分三种情况考虑:①当90AMC时,有222ACAMCM,即22101(3)4mm,解得:11m,22m,点M的坐标为1,1或1,2;②当90ACM时,有222AMACCM,即224101(3)mm,解得:83m,点M的坐标为81,3;③当90CAM时,有222CMAMAC,即221(3)410mm,解得:23m,点M的坐标为21,.3综上所述:当MAC是直角三角形时,点M的坐标为1,1、1,2、81,3或21,.3【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理,解题的关键是:1由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线解析式;2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置;3分AMC90、ACM90和CAM90三种情况,列出关于m的方程.4.二次函数y=x2-2mx+3(m>)的图象与x轴交于点A(a,0)和点B(a+n,0)(n>0且n为整数),与y轴交于C点.(1)若a=1,①求二次函数关系式;②求△ABC的面积;(2)求证:a=m-;(3)线段AB(包括A、B)上有且只有三个点的横坐标是整数,求a的值.【答案】(1)y=x2-4x+3;3;(2)证明见解析;(3)a=1或a=−.【解析】试题分析:(1)①首先根据a=1求得A的坐标,然后代入二次函数的解析式,求得m的值即可确定二次函数的解析式;②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标,从而确定三角形的面积;(2)将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m,然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a,从而确定a、m、n之间的关系;(3)根据a=m-得到A(m-,0)代入y=(x-m)2-m2+3得0=(m--m)2-m2+3,求得m的值即可确定a的值.试题解析:(1)①∵a=1,∴A(1,0),代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0,解得m=2,∴y=x2-4x+3;②在y=x2-4x+3中,当y=0时,有x2-4x+3=0可得x=1或x=3,∴A(1,0)、B(3,0),∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为(0,3),∴OC=3,△ABC的面积=×2×3=3;(2)∵y=x2-2mx+3=(x-m)2-m2+3,∴对称轴为直线x=m,∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称,∴a+n-m=m-a,∴a=m-;(3)y=x2-2mx+3(m>)化为顶点式为y=(x-m)2-m2+3(m>)①当a为整数,因为n>0且n为整数所以a+n是整数,∵线段AB(包括A、B)上有且只有三个点的横坐标是整数,∴n=2,∴a=m-1,∴A(m-1,0)代入y=(x-m)2-m2+3得(x-m)2-m2+3=0,∴m2-4=0,∴m=2,m=-2(舍去),∴a=2-1=1,②当a不是整数,因为n>0且n为整数所以a+n不是整数,∵线段AB(包括A、B)上有且只有三个点的横坐标是整数,∴n=3,∴a=m-∴A(m-,0)代入y=(x-m)2-m2+3得0=(m--m)2-m2+3,∴m2=,∴m=,m=-(舍去),∴a=−,综上所述:a=1或a=−.考点:二次函数综合题.5.如图,已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5)。(1)求直线BC与抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标。【答案】(1)(2)(3)P的坐标为(-1,12)或(6,5)或(2,-3)或(3,-4)【解析】【分析】(1)由B(5,0),C(0,5),应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。(2)构造MN关于点M横坐标的函数关系式,应用二次

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