第16讲：添加辅助线

1/20当几何题难以证明或者比较繁时，可以考虑添加辅助线，帮助解题，添加辅助线的目的是把分散的条件集中到一个三角形或者两个三角形中，构造出全等三角形或者等腰三角形，运用它们的判定或者性质解决问题，本节主要是对几何证明做一总结和拓展．1、常用的辅助线有：（1）联结两个点得到线段；（2）过某一点做平行线或者垂线；（3）延长某一条线段，构造特殊的三角形．辅助线的添加知识结构模块一：根据图形补形添线知识精讲内容分析2/20【例1】如图，已知AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD．下列添加辅助线不正确的是（）．A．延长BA、CD交于点E；B．过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F；C．联结AC、BD；D．过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F．【难度】★【答案】【解析】【例2】如图，AB=AD，BC=CD，求证：∠ABC=∠ADC．【难度】★【答案】【解析】【例3】如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，求证：∠BCD=∠EDC．【难度】★【答案】【解析】例题解析ABCDBCDAABCDE3/20【例4】如图，AB∥EF，∠B+∠C+∠D+∠E=____________．【难度】★★【答案】【解析】【例5】如图，△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE=CF．求证：AE=AF．【难度】★★【答案】【解析】【例6】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE．【难度】★★【答案】【解析】ABCDEFABCDEFABCDE4/20【例7】如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，AF⊥CE于点F，求证：∠CAF=∠EAF+∠ABC．【难度】★★【答案】【解析】【例8】如图，△ABC中，点D、E分别在BC、AC的延长线上，且C是AE的中点，∠B+∠D=180°，求证：AB=DE．【难度】★★【答案】【解析】【例9】两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并求证．【难度】★★【答案】【解析】ABCDEABCDEMABCEF5/20【例10】如图，△ABC中，BD、CE相交于点O，∠1=∠2=12∠A，求证：BE=CD．【难度】★★【答案】【解析】【例11】如图，在直角△ABC和直角△ADE中，∠C=∠E=90°，BC=DE，∠BAE=∠DAC，BC与DE交于点F，求证：BF=DF．【难度】★★★【答案】【解析】【例12】如图，已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a，在线段AC上有动点M，在射线CB上有动点N，且AM=BN，连接MN交AB于点P．（1）当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系?试证明你的结论．（2）过点M作边AB的垂线，垂足为点Q，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定吗?若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】ABCPNMABCDEFABCDEQ126/20【例13】已知：如图，△ABC是等边三角形，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证：23AMNABCCC．【难度】★★★【答案】【解析】【例14】如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且∠EBF=45°，（1）求证：AE+CF=EF；（2）若BF=103，BC=1，求BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】ABCDEFABCDMN7/20常做辅助线：遇到中点，通过倍长中线构造全等的三角形．【例15】已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_______．【难度】★★【答案】【解析】【例16】如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．【难度】★★【答案】【解析】例题解析知识精讲模块二：倍长中线ABCDABCDE8/20【例17】已知：如图，AD是△ABC的BC边上的中线，且BE=AC，延长BE交AC于点F．求证：AF=EF．【难度】★★【答案】【解析】【例18】已知：如图，AD是△ABC的中线，AB=BD，点E在BD上且BE=ED．求证：AC=2AE．【难度】★★【答案】【解析】【例19】已知，如图，在△ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中点．求证：12AMEF．【难度】★★★【答案】【解析】ABCDEABCDEMGFABCDEF9/20【例20】已知：如图，在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE+CFEF．【难度】★★★【答案】【解析】【例21】已知：如图，点M是△ABC的边BC的中点，射线ME、MF互相垂直，且分别交AB、AC于E、F两点，连接EF．（1）求证：线段BE、CF、EF能够成一个三角形；（2）若∠A=120°，且BE=CF，试判断BE、CF、EF所构成三角形的形状，并证明．【难度】★★★【答案】【解析】ABCDEFABCMEF10/20遇到与角平分线相关的题目，以角平分线为对称轴进行翻折，构造全等的三角形．【例22】如图，在三角形ABC中，O是AC边上的一点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的邻补角的平分线于点F，求证：OE=OF．【难度】★★【答案】【解析】【例23】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分ABC，求证：180CA．【难度】★★【答案】【解析】例题解析模块三：角平分线翻折知识精讲ABCDEOFACBNM11/20【例24】如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C．求证：AB+BD=AC．【难度】★★【答案】【解析】【例25】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，并且1+2AEABAD（），求∠ABC+∠ADC等于多少度?【难度】★★【答案】【解析】【例26】如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：OE=OD．【难度】★★【答案】【解析】ABCDEABCDABCDEO12/20【例27】如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF//DA交BA的延长线于点E，交AC于点F，求证：BE=CF．【难度】★★★【答案】【解析】【例28】已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB，交BC于H．求证：CE=BH．（提示：平行四边形的对边相等，对角相等）【难度】★★★【答案】【解析】ABCDEFMABCDEFH13/20【习题1】如图，在△ABC中，∠A=120°∠ABC=∠C，BD是∠ABC的角平分线，如果将△ABD沿BD翻折过来，点A与BC边上的点E重合，那么△CDE是___________三角形．【难度】★【答案】【解析】【习题2】如图，已知AC=BD，∠D=∠C，求证：∠A=∠B．【难度】★【答案】【解析】【习题3】如图，在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC，求证：AB+BD=DC．【难度】★★【答案】【解析】随堂检测ABCDEABCDABCD14/20【习题4】如图，AD是△ABC的角平分线，AC=AB+BD，∠C=30°．求∠BAC的度数．【难度】★★【答案】【解析】【习题5】以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE、ACGF，DP⊥BC于点P，GQ⊥BC于点Q，求证：DP+GQ=BC．【难度】★★【答案】【解析】【习题6】已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且AE+CF=EF，求证：∠EBF=45°．【难度】★★【答案】【解析】ABCDACBDEFGQPABCDEF15/20【习题7】已知，如图，D为等边△ABC内一点，DA=DC，P为等边△ABC外一点，PC=AC，且CD平分∠BCP，求∠P的度数．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】如图，在△ABC中，ACBC，∠C=90°，AD⊥BD交于点D，BD与AC相交于点E，当BE=2AD时，求证：BD平分ABC．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】如图，已知在正方形ABCD中，E是AD的中点，BF=CD+DF，若∠ABE为，求∠CBF的度数．【难度】★★【答案】【解析】ABCDPABCDEABCDEF16/20【习题10】在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°．求证：BD+DC=AB．【难度】★★★【答案】【解析】【习题11】如图，在△ABC中，E是BC边上一点，点D在BC的延长线上且CD=AB，∠BAE=∠D，AC平分∠EAD．求证：AD=2AE．【难度】★★★【答案】【解析】ABCDABCDE17/20【作业1】如图，将△ABC的中线AD加倍到点E，联结CE后，以下结论错误的是（）．A．ABDECD△△；B．AD=DC；C．CE=AB；D．AB∥CE．【难度】★★【答案】【解析】【作业2】已知：AD是△ABC的角平分线，∠C=2∠B，将△ACD沿AD翻折，点C落在AB边上的E处，△EBD是____________；AB、AC、CD之间的数量关系是_____________．【难度】★★【答案】【解析】【作业3】已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．求证：AB=AC+CD．【难度】★★【答案】【解析】课后作业ABCDABCDABCD18/20【作业4】已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD+DC=AD．【难度】★★【答案】【解析】【作业5】已知直角△ABC中，∠CAB=90°点D、E在边BC上，∠CAE=∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE；求证：BD=AC．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】如图，已知点C是AB的中点，点E在CD上，AE=BD，求证：∠AEC=∠CDB．【难度】★★【答案】【解析】ABCDEACBDEABCDE19/20【作业7】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AB上一点，E是AC延长线上一点，联结DE交BC于点M，DM=ME，求证：BD=CE．【难度】★★【答案】【解析】【作业8】已知，如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点F，∠C=60°，求证：AB=AE+BD．【难度】★★【答案】【解析】【作业9】如图，已知在△ABC中，BD、CE相交于点Q，BE=CD，∠1=∠2．求证：∠A=2∠1．【难度】★★★【答案】【解析】ABCDMEABCDEQ12ABCDEF20/20【作业10】如图所示，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AP⊥EF于点P，求证：AP=AB．【难度】★★★【答案】【解析】【作业11】以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABEF、ACGH，联结FH，AD⊥BC于点D，延长DA交FH于点M．求证：（1）FM=MH；（2）BC=2AM．【难度】★★★【答案】【解析】ABCDEFGHMABCDEFP