数学建模中的数据处理方法(非常全)

【数学建模中的数据处理方法】范筑军【主要内容】曲线插值与拟合数值微分与积分微分方程数值解优化问题回归分析判别分析曲线插值与拟合一维插值二维插值曲线拟合一维插值对表格给出的函数，求出没有给出的函数值。在实际工作中，经常会遇到插值问题。下表是待加工零件下轮廓线的一组数据，现需要得到x坐标每改变0.1时所对应的y的坐标.x035791112131415y01.21.72.02.12.01.81.21.01.6一维插值下面是关于插值的两条命令(专门用来解决这类问题)：y=interp1(x0,y0,x,’method’)分段线性插值y=spline(x0,y0,x)三次样条插值x0,y0是已知的节点坐标，是同维向量。y对应于x处的插值。y与x是同维向量。method可选’nearest’(最近邻插值),’linear’(线性插值),’spline’(三次样条插值),’cubic’(三次多项式插值)一维插值解决上述问题,我们可分两步:用原始数据绘图作为选用插值方法的参考.确定插值方法进行插值计算一维插值(px_lc11.m)对于上述问题,可键入以下的命令:x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]';y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]'plot(x0,y0)%完成第一步工作x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x');%用分段线性插值完成第二步工作plot(x,y)y=spline(x0,y0,x');plot(x,y)%用三次样条插值完成第二步工作练习1.对y=1/(1+x2),-5≤x≤5，用n（=11）个节点（等分）作上述两种插值，用m（=21）个插值点（等分）作图，比较结果。(see:px_ex_lc1.m)2.在某处测得海洋不同深度处水温如下表：求深度为500、1000、1500米处的水温。(see:px_ex_lc2.m)深度44671495014221634水温7.044.283.402.542.13二维插值MATLAB中二维插值的命令是：z=interp2（x0,y0,z0,x,y,'meth'）二维插值在一个长为5个单位，宽为3个单位的金属薄片上测得15个点的温度值，试求出此薄片的温度分布，并绘出等温线图。（数据如下表）yixi12345182818082842796361658738484828586二维插值(px_lc21.m)temps=[82,81,80,82,84;79,63,61,65,87;84,84,82,85,86];mesh(temps)%根据原始数据绘出温度分布图，可看到此图的粗造度。二维插值%下面开始进行二维函数的三阶插值。width=1:5;depth=1:3;di=1:0.2:3;wi=1:0.2:5;[WI,DI]=meshgrid(wi,di);%增加了节点数目ZI=interp2(width,depth,temps,WI,DI,'cubic');%对数据（width,depth,temps）进%行三阶插值拟合。surfc(WI,DI,ZI)contour(WI,DI,ZI)二维插值曲线拟合假设一函数g(x)是以表格形式给出的，现要求一函数f(x)，使f(x)在某一准则下与表格函数（数据）最为接近。由于与插值的提法不同，所以在数学上理论根据不同，解决问题的方法也不同。此处，我们总假设f(x)是多项式。曲线拟合问题：弹簧在力F的作用下伸长x厘米。F和x在一定的范围内服从虎克定律。试根据下列数据确定弹性系数k,并给出不服从虎克定律时的近似公式。x1247912131517F1.53.96.611.715.618.819.620.621.1曲线拟合解题思路：可以用一阶多项式拟合求出k，以及近似公式。在MATLAB中，用以下命令拟合多项式。polyfit（x0,y0,n）一般，也需先观察原始数据的图像，然后再确定拟和成什么曲线。曲线拟合(px_lc31.m)对于上述问题,可键入以下的命令:x=[1,2,4,7,9,12,13,15,17]';F=[1.5,3.9,6.6,11.7,15.6,18.8,19.6,20.6,21.1]';plot(x,F,'.')从图像上我们发现:前5个数据应与直线拟合,后5个数据应与二次曲线拟合。于是键入:a=polyfit(x(1:5),F(1:5),1);a=polyfit(x(5:9),F(5:9),2)曲线拟合注意：有时，面对一个实际问题，究竟是用插值还是用拟合不好确定，还需大家在实际中仔细区分。同时，大家（包括学过计算方法的同学）注意去掌握相应的理论知识。数值微分与积分数值积分数值微分数值积分先看一个例子：现要根据瑞士地图计算其国土面积。于是对地图作如下的测量：以西东方向为横轴，以南北方向为纵轴。（选适当的点为原点）将国土最西到最东边界在x轴上的区间划取足够多的分点xi，在每个分点处可测出南北边界点的对应坐标y1，y2。用这样的方法得到下表根据地图比例知18mm相当于40km，试由上表计算瑞士国土的近似面积。（精确值为41288km2）。数值积分x7.010.513.017.534.040.544.548.056.0y1444547505038303034y24459707293100110110110x61.068.576.580.591.096.0101.0104.0106.5y1363441454643373328y2117118116118118121124121121x111.5118.0123.5136.5142.0146.0150.0157.0158.0y1326555545250666668y2121122116838182868568数值积分解题思路：数据实际上表示了两条曲线，实际上我们要求由两曲线所围成的图形的面积。解此问题的方法是数值积分的方法。具体解时我们遇到两个问题：1。数据如何输入；2。没有现成的命令可用。数值积分(px_wj11.m)对于第一个问题，我们可把数据拷贝成M文件（或纯文本文件）。然后，利用数据绘制平面图形。键入loadmianji.txtA=mianji';plot(A(:,1),A(:,2),'r',A(:,1),A(:,3),'g')数值积分数值积分接下来可以计算面积。键入：a1=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,2)*40/18);a2=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,3)*40/18);d=a2-a1d=4.2414e+004数值积分至此，问题可以说得到了解决。之所以说还有问题，是我们觉得误差较大。但计算方法的理论给了我们更精确计算方法。只是MATLAB没有相应的命令。想得到更理想的结果，我们可以自己设计解决问题的方法。（可以编写辛普森数值计算公式的程序，或用拟合的方法求出被积函数，再利用MATLAB的命令quad,quad8）数值微分已知20世纪美国人口统计数据如下，根据数据计算人口增长率。（其实还可以对于后十年人口进行预测）年份1900191019201930194019501960197019801990人口×10676.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4数值微分解题思路：设人口是时间的函数x(t).于是人口的增长率就是x(t)对t的导数.如果计算出人口的相关变化率。那么人口增长满足，它在初始条件x(0)=x0下的解为.（用以检查计算结果的正确性）xxtr)(数值微分解：此问题的特点是以离散变量给出函数x(t),所以就要用差分来表示函数x(t)的导数.常用后一个公式。（因为，它实际上是用二次插值函数来代替曲线x(t)）即常用三点公式来代替函数在各分点的导数值：数值微分MATLAB用命令diff按两点公式计算差分;此题自编程序用三点公式计算相关变化率.编程如下(diff3.m):fori=1:length(x)ifi==1r(1)=(-3*x(1)+4*x(1+1)-x(1+2))/(20*x(1));elseifi~=length(x)r(i)=(x(i+1)-x(i-1))/(20*x(i));elser(length(x))=(x(length(x)-2)-4*x(length(x)-1)+3*x(length(x)))/(20*x(length(x)));endendr=r;数值微分保存为diff3.m文件听候调用.再在命令窗内键入X=[1900,1910,1920,1930,1940,1950,1960,1970,1980,1990];x=[76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4];diff3;由于r以离散数据给出,所以要用数值积分计算.键入x(1,1)*exp(trapz(X(1,1:9),r(1:9)))数值积分命令：trapz(x),trapz(x,y),quad(‘fun’,a,b)等.微分方程数值解(单摆问题)单摆问题的数学模型是在初始角度不大时,问题可以得到很好地解决,但如果初始角较大,此方程无法求出解析解.现问题是当初始角为100和300时,求出其解,画出解的图形进行比较。微分方程数值解(单摆问题)解:若θ0较小,则原方程可用来近似.其解析解为θ(t)=θ0cosωt,.若不用线性方程来近似,那么有两个模型:微分方程数值解(单摆问题)取g=9.8,l=25,100=0.1745,300=0.5236.用MATLAB求这两个模型的数值解,先要作如下的处理:令x1=θ,x2=θ’,则模型变为微分方程数值解(单摆问题)再编函数文件(danbai.m)functionxdot=danbai(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=x(2);xdot(2)=-9.8/25*sin(x(1));微分方程数值解(单摆问题)在命令窗口键入()[t,x]=ode45(‘danbai’,[0:0.1:20],[0.1745,0]);[t,y]=ode45(‘danbai’,[0:0.1:20],[0.5236,0]);plot(t,x(:,1),’r’,t,y(:,1),’k’);优化问题线性规划有约束极小问题非线性规划有约束极小问题非线性无约束极小问题非线性最小二乘问题二次规划线性规划有约束极小问题模型用命令[x,fval]=linprog(f,A,b,A1,b1,lb,ub)线性规划有约束极小问题Findxthatminimizesf(x)=-5x1-4x2-6x3subjecttox1-x2+x3≦203x1+2x2+4x3≦423x1+2x2≦300≦x1,0≦x2,0≦x3线性规划有约束极小问题线性规划有约束极小问题解问题把问题极小化并将约束标准化线性规划有约束极小问题键入c=[-2,-3,5];a=[-2,5,-1];b=-10;a1=[1,1,1];b1=7;LB=[0,0,0];[x,y]=linprog(c,a,b,a1,b1,LB)得当X=(6.4286,0.5714,0.0000)时,z=-14.5714最大.线性规划有约束极小问题解问题线性规划有约束极小问题解:键入c=[-2,-1,1];a=[1,4,-1;2,-2,1];b=[4;12];a1=[1,1,2];b1=6;lb=[0;0;-inf];ub=[inf;inf;5];[x,z]=linprog(c,a,b,a1,b1,lb,ub)得当X=(4.6667,0.0000,0.6667)时,z=-8.6667最小.非线性规划有约束极小问题模型：MATLA