大学课件 概率论与数理统计 第2章 一维随机变量第二次

定义设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使得对一切实数x，关系式xdttfxF都成立，则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的密度函数。可以证明，连续型随机变量的分布函数是连续函数。一维连续型随机变量密度函数的性质定理密度函数f(x)具有下列性质：（1）（2）（3）0xf1dxxfbadxxfaFbFbXaP证明（１）由定义知f(x)≥0显然。（２）由分布函数性质知，1xFlimFx1FxFlimdttflimdxxfxxx由广义积分概念与定义知，常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，aXPbXPbXaPbabadxxfdxxfdxxf（３）aFbFaXPbXPbXaP对任意类型的随机变量均成立bxf(x)-10-550.020.040.060.08a反之，对定义在的函数，满足(1)、(2),如果令则F是某随机变量的分布函数。),(,),(x,dt)t(f)x(FxfP(X=a)=?对任意的h0所以连续型随机变量取任意单点值的概率是0，所以它的分布性不可能通过列举它的单点值概率来表示。,)()()(ahaXdxxfaXhaPaXP0)(0)(lim)(00aXPdxxfaXPahaXh一个事件的概率为零，这个事件不一定是不可能事件；同样的这个事件的概率为1，这个事件也不一定是必然事件。对所以在某点处的取值较大，则随机变量取附近的值的概率也较大。所以用分布密度函数来描述随机变量的分布特性，与用分布列描述离散型随机变量是类似的。0x).()()()()(xxXxPxFxxFdttfxxfXXxxxXXXfxXx例2.3.1(标准的柯西分布)设随机变量X的分布密度函数为(1)试确定a的值。(2)试求X的分布函数。(3)试求),(,1)(2xxaxfX).1(2XP解:(1)首先a0，另外.11|)arctan(1)(2aaxadxxadxxfX(2)).arctan(121)2)(arctan(1)()(xxdttfxFxXX(3).21))1arctan()1(arctan(1111)11()1(1122dttXPXP均匀分布设a、b为有限数，且ab。如果随机变量X分布密度为baxbaxabxf,,0,,1则称X在[a,b]上服从均匀分布，记作U(a，b)均匀分布随机变量的分布函数为：bxbxaabaxaxdxxfxFx10)(由定义，在[a,b]上取常值，所以对满足的c和d有这就是均匀分布名称的由来。几何概型中，若投点都落入区间[a,b],记X为落点坐标，则X服从均匀分布。XfbdcadcabcddxabdXcP.1)(102电车每5分钟发一班，在任一时刻某一乘客到了车站,求乘客候车时间不超过2分钟的概率。设随机变量X为候车时间，则X服从（0，5）上的均匀分布220012(2)(2)()55PXFfxdxdx解例X～U（0，5）几何概型（一维）设ξ在[-1，5]上服从均匀分布，求方程2210xx有实根的概率。解方程有实数根2440即1而的密度函数为1(15)()60xfx其它所求概率为112{1}()()3Pfxdxfxdx指数分布若随机变量X具有分布密度为000)(xxexfx0001)(xxexFx)0(为常数则称X服从参数为的指数分布，容易求得它的分布函数为一般的，用它来作为各种“寿命”分布的近似，电器元件的寿命，动物的寿命.“稀有事件”(在有限时间内发生有限多次，在极短时间内至多发生一次)发生的时间间隔服从指数分布.若X~Ｅ(),则故又把指数分布称为“永远年轻”的分布)tX(P)sXtsX(P指数分布的“无记忆性”事实上)sX(P)tsX(P)sX(P)sX,tsX(P)sXtsX(P)tX(Peee)s(F1)ts(F1)sX(P1)tsX(P1ts)ts(命题例设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数及2360(12)31xPXedxe和(1)PX330()00xexfxx解：X的概率密度3311(1)()3xPXfxdxedxe(12)PX2112()()xxPxXxfxdx其中μ、σ0为常数，则称X服从参数为μ、σ的正态分布，简记为X～N(μ,σ2)。正态分布若随机变量X的分布密度222/)(21)(xexf)(x);21,(21e正态分布的密度函数的性质与图形关于x=对称（-，）升，（，+）降12f最大（）单调性对称性拐点中间高两边低y-+21x１2μ，σ对密度曲线的影响12122110.7521.25相同，不同图形相似，位置平移不同，相同越小，图形越陡；越大，图形越平缓正态分布的分布函数dxexFxx222)(21)(F(x)121x221()2xxxedx标准正态分布定义X~N（0，1）分布称为标准正态分布密度函数221()2xxe分布函数StandardNormaldistribution01偶函数()yx)x(1)x(标准正态分布的概率计算分布函数()yxX-xx2xdxe21)xX(P)x(25.0)0(()()PaXbba（）标准正态分布的概率计算12PX（）1PX（）(1)(1)2(1)10.68260()1()xxx时,0()xx时，的值可以查表()PXbb（）1()PXaa（）公式查表例(2)(1)0.97720.84130.1359(1)1(1)10.84130.15871PX（）)1,0(~NX一般正态分布的标准化2~(,),()xXNFx如果则定理2~(,)XN若查标准正态分布表概率计算)()()(abbXaPba2)x(badxe21dx)x(f)bXa(P22如X～N(μ,σ2)，有)a()b()bXa(P证明：时也成立。或结论当ba)(21)(,2/2xdtexFxbaxt有时，特别地，当)()(abbatdte2221baxxde)(21222)(xt令)1,0(N~X)x()xX(P)x()x(F)xX(P)xX(P)x(F)1,0(N~X),(N~X2，则如果证明：设X~N（1，4），求P(0X1.6)解(0.3)1(0.5)()()()baPaXb例1,2(01.6)PX1.6101()()22(0.3)(0.5)0.617910.69150.3094正态分布的实际应用2~(,)XN已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录取？某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者的考试成绩分析首先求出和然后根据录取率或者分数线确定能否录取解:成绩X服从录取率为可得得查表得0228.052612)90X(P1588.052683)60X(P),(N22947.05261559772.00228.01)90X(P190)90X(P1588.060)60X(P8412.01588.01600.2900.160解查表得………..解得故设录取的最低分为则应有某人78分，可被录取。,0.2900.16010,70)10,70(N~X2x4.75x2947.0)xX(P7053.02947.01)xX(P7053.01070x54.01070xX的取值几乎都落入以为中心，以3为半径的区间内。这是因为：),(~2NX330.9974F(x)3准则3X是小概率事件)3()3(3X3P9974.01)3(2)]3(1[)3(例设已知测量误差X～N（0，102），现独立重复进行100次测量，求误差绝对值超过19.6的次数不少于3的概率。解：第一步:以A表示一次测量中“误差绝对值超过19.6”的事件，则有05.0)96.1(22)96.110X(P1)6.19X(P1)6.19X(P)A(P第二步:以Y表示100次独立重复测量中，事件A发生的次数，则Y～B（100，0.05），所求概率是P（Y≥3）=1－P（Y3）8754.0!25!15!051)2()1()0(1)3(1)3(525150eeeYPYPYPYPYP第三步:由于n=100较大而p=0.05很小，故二项分布可用λ=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得例公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高X服从μ=170cm、σ=6cm的正态分布，即X～N（170，62），试确定车门的高度。解：设车门的高度为hcm，根据设计要求应有99.0)(01.0)(101.0)(hXPhXPhXP18433.2617099.09901.0)33.2(99.0)6170()()()6170(~2hhhhXPhXPNX得＝＝查正态分布表得，例从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位分钟）服从正态分布N(50,100)，第二条沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位分钟）服从正态分布N(60,16)，（1）如有70分钟可用，问应走哪一条路线？（2）如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？解：应走第二条路线。的概率为：走第二条路线及时赶到的概率为：走第一条路线及时赶到分钟可用时有表示行车时间。设9938.0)46070()70X(P9772.0)105070()70X(P70)1(X应走第一条路线。的概率为：走第二条路线及时赶到的概率为：走第一条路线及时赶到分钟可用时有8944.0)46065()65X(P9332.0)105065()65X(P65)2(如X是随机变量，在y=g(x)连续、分段连续或单调时，则Y=g(X)也是随机变量。一维随机变量函数的分布方法将与Y有关的事件转化成X的事件求随机因变量Y=g(X)的密度函数或分布律)(yfY问题已知随机变量X的密度函数或分布律)(xfX设随机变量X的分布律为,