大学课件 概率论与数理统计 第2章 一维随机变量第一次

一维随机变量及其概率分布第二章随机变量的概念与分布函数一维连续型随机变量一维离散型随机变量一维随机变量函数的分布概率测度P是事件域F到实数集R的映射，它不是经典函数，为了有效的使用数学工具，我们把基本事件ω换成数，进而把事件的概率用随机变量的分布函数来表示，这样就需要引入随机变量的概念。2.1随机变量及其分布RandomVariableandDistribution随机变量基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的可规定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”RandomVariable有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化例设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。取球结果为:两个白球;两个红球;一红一白。特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。此时，“两只红球”=“X取到值2”,可记为{X=2}“一红一白”记为{X=1},“两只白球”记为{X=0}.试验结果的数量化随机变量的定义1)它是一个变量，它的取值随试验结果而改变2)随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件随机变量随机变量的两个特征:设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点，均有唯一的实数与之对应，称为样本空间上的随机变量(样本点的函数)。()X()XX某个灯泡的使用寿命X。某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X.X的可能取值为[0,+)Y的可能取值为0，1，2，3，...,X的可能取值为[0，1]上的全体实数。例随机变量的实例如何给出严格的数学定义？正如对随机事件一样，我们所关心的不仅是实验会出现什么结果，更重要的是要知道这些结果将以什么样的概率出现。即对随机变量我们不但要知道它取什么值，而且要知道它取这些值的概率。两种不同类型的随机变量•实验结果有限或者至多可列个，我们能把可能结果一一列举出来，这种类型的随机变量称为离散型随机变量。如：1古典型概率，把每个结果对应一个数值，则得到一个离散型随机变量。2n次伯努里试验中，若以μ记事件A出现的次数，则μ可取：0，1，2，∙∙∙，n一般的，对于定义在上的离散型随机变量只要指出它的取值：以及取这些值的概率就满足我们的要求了。所以必须要求的概率。而我们只对事件域中的集合定义概率，所以必须有,,,,21nxxx,,,2,1},)({nixXPi}){X(ixFFxXi})(:{)(X•与离散型随机变量不同的是连续随机变量，一些随机现象所出现的实验结果可能不止可列个，如：测量误差，降水量，分子运动。此时，描述实验结果的随机变量还是样本点的函数：严格写应该是，其中,但这些随机变量能取某个区间或者实数的全体值。)(X]b,a[1此时不能用离散型随机变量的方法来描述这一随机变量；首先不能一一列出，其次取连续值的随机变量，它取某个值的概率常常是0.2取连续值的随机变量我们关心的不是它取某个特定值的概率，而是取值于某个区间的概率.如：误差小于某个数的概率，降水量在100毫米到120毫米间的概率.因此，要求我们求或的概率，但既然我们只对中的事件才定义概率,自然要求上述集合都属于事件域。由上讨论，为了使我们感兴趣的概率计算得以进行，我们应对加上一定的限制，主要要求为此引入下面的定义：})({bXa})({bXFb:X(ω}){F)(X定义：设为概率空间，映射满足：则称为随机变量，随机变量的分布函数定义为由定义：,:X,}{x,Fx)X(：xxXPxFX,}))(:({)(baaFbFbXaPXX,)()()(),,(PF)(XX分布函数的性质定理分布函数具有下列性质：(1)单调性：若，则(2)(3)右连续性：);()(bFaF;1)(lim,0)(limxFxFxx).()0(xFxF)(xFba证明:(1)(2)由于的单调性：存在..0)()()(bXaPaFbF1)(lim)(lim)]()1([)1()(mFnFnFnFnXnPXPmnnn)(lim)(lim,)(lim)(limnFxFmFxFnxmx)(xF又因为所以(3)由于是单调函数，只需证明对一列单调下降数列成立即可因为,1)(0xF.1)(lim,0)(limxFxFxxxxxxxxnn,210)()(limxFxFnn10100)(lim)()]()([)()()(nnnnnxFxFxFxFxXxPxFxF)(xF所以).()(lim)0(xFxFxFnn注：12分布函数的三个基本性质刚好对应于概率的三个基本性质。baaFbFbXaPaFbFbXaPaFbFbXaPaFaFaXP,,)()0()()0()0()()0()()()0()()(21()1Fxx是不是某一随机变量的分布函数？不是因为lim()0xFx函数21(0)()11(0)xGxxx可作为分布函数•综上，分布函数是一种分析性质良好的函数，便于处理，而且给定了分布函数就可以算出各种事件的概率，因而引进分布函数使许多概率问题得以简化为函数的运算，这样就能利用数学分析的许多结果，这就是引入随机变量的好处之一。离散型随机变量如随机变量的取值只有有限个或可列多个（可数），则称它为离散型随机变量。一维离散型随机变量设离散型随机变量的全部取值为则称上式为X的概率分布律。也可写作：离散型随机变量的分布列称为的分布列,,,,,,,,2121nnppppxxxX或nxxx21nppp21XX~X,2,1,)X(,,,,21ipxPxx,xiin且•性质12注：此时分布函数为且,2,1,0ipi.11iipxxiipxXPxF)()(bxaiipbXaP)(X-112P1/31/21/6例设X的分布律为求P(0X≤2)P(0X≤2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3分布律确定概率解：=P(抽得的两件全为次品)求分布律举例例设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值为0，1，2=P(抽得的两件全为正品)190136220217CCP(X=1)P(X=2)1131722051190CCC232203190CC=P(只有一件为次品)P(X=0)故X的分布律为X012kp190136190511903而“至少抽得一件次品”={X≥1}={X=1}{X=2}P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)注意：{X=1}与{X=2}是互不相容的！952719054190319051实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了。故从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。解:记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…则Ai,i=1,2,3,…是相互独立的！且X的所有可能取值为1，2，3，…,k,…P(X=k)=)(121kkAAAAP(1-p)k-1p,k=1,2,…{X=k}对应着事件例设随机变量X的分布律为试确定常数b.解:由分布律的性质,有11223()()2313kkkbPXkb例232113bb1.2b1,2,3k,)32b(k)P(Xk2.8的分布列为设离散型随机变量X0.20.30.5P123X.的分布函数试求X3x,13x2,5.02x1,2.01x,0)x(FX解：几种常见的离散型分布0-1分布(二点分布)1－ppP01X则称X服从参数为p的二点分布或(0-1)分布.△背景：样本空间只有两个样本点的情况都可以用两点分布来描述。如：上抛一枚硬币。△定义：若随机变量X的分布律为:例设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量10X（取得红球）（取得白球）其概率分布为，3(1)10PX7(0)10PX即X服从两点分布。二项概率公式设在一次试验中，事件Ａ出现的概率为p(0p1)，则在n重伯努利试验中，事件Ａ出现次数X的分布律为n,,2,1,0k,p1q,,qpC)kX(Pknkkn其中二项分布随机变量X所服从的分布称为二项分布，以X～B(n，p)表示。).p,n;k(b)kX(P令:,ba)p,n(B~X有时，对当.)p1(pkn)p,n;k(b)bX(P)p1(pkn)p,n;k(b)bXa(Pbkbkknkbkabkaknk若X～B(n，p)，则有下式成立：21),;()(2121kkkpnkbkXkPkkXA之间的概率是与在发生的次数事件10),;(1)(ArkpnkbrXPr的概率是发生的次数至少为事件nqpnbXPA1),;0(1)1(1次的概率是发生的次数至少为事件1)2)3)定理1从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验记X为共抽到的次品数，则)41,5(~BXA=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,例解:41p,5n2522541141C)2X(P例一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后,求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。解:X～B（10,0.9）(1)P(X=8)=1937.01.09.028810C8829910101010100.90.10.90.10.90.9298CCCP(X=8)+P(X=9)+P(X=10))8X(P)2(例已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?解:设需要发射n枚导弹，则击中敌机的导弹数是随机变量X～B（n，0.96）由题意有：P（X≥1）=1-(1-0.96)n0.999故nlg0.001/lg0.04=2.15取n=3，即需要发射3枚导弹。定理2设X~B(n,p)，令k0=Int[(n+1)p]则k=k0时，b(k;n,p)的值最大。若(n+1)p为整数，则b(k0;n,p)=b(k0－1;n,p)证明：pnkbpnkbr,;1,;＝令kqpknr)1(则kqkqpkn)1(1kqkpn)1(1例鱼塘中鱼的条数。先从塘中网起100条鱼做上记号后放回塘里，过一段时间（使其均匀）再从中网起80条，发现其中有记号者为2条，求鱼的总数N。解:设有记号的鱼的条数为X，则X服从二项分布B(80，100/N)。由定理，捞起的鱼最有可能是Int((n+1)p)条，因此(80+1)×100/N=2由此解得N=4050（条）若离散型随机变量X的分布律为其中λ0是常数，则称X服从泊松分布,记为X～P(λ)，λ称为参数。,2,1,0ke!kkXPk